Filiera vocaţională, profilul artistic, specializarea, arhitectură, arte ambientale, design

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Matematică Programa de bacalaureat –2009 F_MT3_M3_Filiera vocaţională, profilul artistic, specializarea, arhitectură, arte ambientale, design. Statutul disciplinei: Matematica este disciplină la alegere în cadrul probei F. CLASA a IX-a - 2 ore / săpt.

(TC) Competenţe specifice Conţinuturi 1. Identificarea în limbaj cotidian sau în probleme a unor noţiuni specifice logicii matematice şi teoriei mulţimilor 2. Transcrierea unui enunţ în limbajul logicii matematice sau al teoriei mulţimilor 3.

Utilizarea reprezentărilor grafice (diagrame, reprezentări pe axă), a tabelelor de adevăr, pentru efectuarea unor operaţii 4. Explicitarea caracteristicilor unor mulţimi folosind limbajul logicii matematice 5. Analiza unor contexte uzuale şi matematice (de exemplu: redactarea soluţiei unei probleme) utilizând limbajul logicii matematice şi al teoriei mulţimilor 6.

Transpunerea unei probleme în limbaj matematic, rezolvarea problemei şi interpretarea rezultatului Mulţimi şi elemente de logică matematică • Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos; operaţii cu intervale de numere reale; • Propoziţie, predicat, cuantificatori; • Operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, incluziune, egalitate). 1.Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt şiruri, progresii, funcţii 2.

Reprezentarea în diverse moduri a unor corespondenţe, funcţii, şiruri în scopul caracterizării acestora 3.Identificarea unor formule de recurenţă pe bază de raţionamente de tip inductiv 4.Exprimarea caracteristicilor unor funcţii folosind reprezentări (diagrame, grafice) 5.

Deducerea unor proprietăţi ale unor şiruri folosind reprezentările grafice sau raţionamente de tip inductiv 6.Asocierea unei situaţii problemă cu un model matematic de tip funcţie, şir, progresie Funcţii Şiruri • Modalităţi de a descrie un şir; exemple de şiruri: progresii aritmetice, progresii geometrice, aflarea termenului general al unei progresii; suma primilor n termeni ai unei progresii. Matematică_Programa de bacalaureat _2009 F_MT3_M3_Filiera vocaţională, profilul artistic, specializarea, arhitectură, arte ambientale, design 2 Competenţe specifice Conţinuturi 1.

Identificarea valorilor unei funcţii folosind reprezentarea grafică a unei funcţii 2. Identificarea unor puncte semnificative de pe graficul unei funcţii 3. Folosirea proprietăţilor unei funcţii pentru completarea graficului unei funcţii pare, impare sau periodice 4.

Exprimarea proprietăţilor unor funcţii pe baza lecturii grafice 5. Reprezentarea graficului prin puncte şi aproximarea acestuia printr-o curbă continuă 6. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lectură grafică Funcţii; lecturi grafice • Reper cartezian, produs cartezian, reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru puncte aflate în cadrane.

Drepte în plan de forma x m = , sau de forma , y m m = ∈ ; • Funcţia: definiţie, exemple, exemple de corespondenţe care nu sunt funcţii, exemple de corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de a descrie o funcţie, lecturi grafice; egalitatea a două funcţii, imaginea unei funcţii, graficul unei funcţii; • Funcţii numerice : I f → , I interval de numere reale; proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lecturi grafice: reprezentarea geometrică a graficului, intersecţia graficului cu axele de coordonate, rezolvarea grafică a ecuaţiilor de forma ( ) ( ) f x g x = , mărginire, paritate, imparitate (simetria graficului faţă de axa Oy sau faţă de origine), periodicitate, monotonie. 1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite 2.

Identificarea unor metode grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor 3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor şi reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I 4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete ce se pot descrie prin funcţii de o variabilă, inecuaţii sau sisteme 5.

Interpretarea cu ajutorul proporţionalităţii a condiţiilor pentru ca diverse date să fie caracterizate cu ajutorul unei funcţii de gradul I 6. Rezolvarea cu ajutorul funcţiilor a unei situaţii problemă şi interpretarea rezultatului Funcţia de gradul I • Definiţie; • Reprezentarea grafică a funcţiei ( ) : , ,, f fx axbab → = + ∈ , intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia ( ) 0 f x = ; • Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonie, semnul funcţiei. • Inecuaţii de forma ax + b ≤ 0 (≥, ) , , a b∈ , studiate pe ; • Poziţia relativă a două drepte; sisteme de tipul ax by c mx ny p + =   + =  , a, b, c, m, n, p numere reale.

1. Diferenţierea variaţiei liniare/pătratice prin exemple 2. Completarea unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului 3.

Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului (trasarea prin puncte semnificative) 4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice 5. Utilizarea relaţiilor lui Viète pentru caracterizarea soluţiilor şi rezolvarea unor sisteme 6.

Identificarea unor metode grafice de rezolvare a ecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţii Funcţia de gradul al II-lea • Reprezentarea grafică a funcţiei f : → , ( ) 2 , 0, f x ax bx c a = + + ≠ a,b,c∈ , intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia ( ) 0 f x = , simetria faţă de drepte de forma x m = , m∈ ; • Relaţiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de forma    = = + p xy s y x s,p∈ . Matematică_Programa de bacalaureat _2009 F_MT3_M3_Filiera vocaţională, profilul artistic, specializarea, arhitectură, arte ambientale, design 3 Competenţe specifice Conţinuturi 1. Identificarea unor moduri de variaţie a datelor 2.

Reprezentarea grafică a unor date diverse în vederea comparării variaţiei lor 3. Utilizarea lecturii grafice pentru rezolvarea de ecuaţii, inecuaţii şi sisteme 4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii algebrice a unor reprezentări grafice 5.

Interpretarea unei configuraţii din perspectiva poziţiei relative a unei drepte faţă de o parabolă 6. Utilizarea lecturilor grafice în vederea optimizării rezultatelor unor probleme practice Interpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea • Monotonie; punct de extrem (vârful parabolei), interpretare geometrică; • Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox, semnul funcţiei, inecuaţii de forma ax2 + bx + c ≤ 0 (≥,), , , a b c∈ , a ≠ 0 interpretare geometrică; • Poziţia relativă a unei drepte faţă de o parabolă: rezolvarea sistemelor de forma    = + + = + y c bx ax y n mx 2 , , , , , a b c m n∈ , interpretare geometrică. 1.

Identificarea elementelor de geometrie vectorială 2. Utilizarea reţelelor de pătrate pentru determinarea caracteristicilor unor segmente orientate pe configuraţii date 3. Efectuarea de operaţii cu vectori pe configuraţii geometrice date 4.

Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie anumite configuraţii geometrice 5. Identificarea condiţiilor necesare pentru efectuare operaţiilor cu vectori 6. Aplicarea calculului vectorial în descrierea proprietăţilor unor funcţii Vectori în plan • Segment orientat, vectori, vectori coliniari; • Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăţi ale operaţiei de adunare, înmulţirea cu scalari, proprietăţi ale înmulţirii cu scalari, condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi vectori daţi, necoliniari şi nenuli.

1. Descrierea sintetică sau vectorială a proprietăţilor unor configuraţii geometrice 2. Reprezentarea prin intermediul vectorilor a unei configuraţii geometrice date 3.

Utilizarea calcului vectorial sau a metodelor sintetice în rezolvarea unor probleme de geometrie metrică 4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (şi invers) a unei configuraţii geometrice date 5. Determinarea condiţiilor necesare pentru coliniaritate, concurenţă sau paralelism 6.

Analiza comparativă a rezolvărilor vectorială şi sintetică ale aceleiaşi probleme Coliniaritate, concurenţă, paralelism - calcul vectorial în geometria plană • Vectorul de poziţie al unui punct; • Vectorul de poziţie al punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiţii de paralelism); • Vectorul de poziţie al centrului de greutate al unui triunghi (concurenţa medianelor unui triunghi). 1. Identificarea elementelor necesare pentru calculul unor lungimi de segmente şi măsuri de unghiuri 2.

Utilizarea unor formule pentru calcule în trigonometrie şi în geometrie 3. Aplicarea teoremelor şi formulelor pentru determinarea unor măsuri (lungimi sau unghiuri) 4. Transpunerea într-un limbaj specific trigonometriei şi geometriei a unor probleme practice 5.

Utilizarea unor elemente de trigonometrie în rezolvarea triunghiului oarecare 6. Analiza şi interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor probleme practice Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie • Rezolvarea triunghiului dreptunghic. • Formulele ( ) sin 180 sin x x − = ; ( ) cos 180 cos x x − =− (fără demonstraţie).

• Modalităţi de calcul a lungimii unui segment şi a măsurii unui unghi: teorema sinusurilor şi teorema cosinusului. Matematică_Programa de bacalaureat _2009 F_MT3_M3_Filiera vocaţională, profilul artistic, specializarea, arhitectură, arte ambientale, design 4 CLASA a X-a - 2 ore / săpt. (TC) Competenţe specifice Conţinuturi 1.

Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere a unui număr real 2. Compararea şi ordonarea numerelor reale utilizând metode variate 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu puteri, radicali şi logaritmi 4.

Alegerea formei de reprezentare a unui număr real pentru optimizarea calculelor 5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor 6. Analiza validităţii unor afirmaţii prin utilizarea aproximărilor, a proprietăţilor sau a regulilor de calcul Numere reale Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi real, aproximări raţionale pentru numere iraţionale.

Puteri cu exponent iraţional şi real a unui număr pozitiv. Radical dintr-un număr raţional (ordin 2 sau 3), proprietăţi ale radicalilor. Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare.

1. Exprimarea relaţiilor de tip funcţional în diverse moduri 2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, bijectivitate, semn, continuitate, convexitate) 3.

Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în calcule şi aproximări, prin metode diverse 4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete ce se pot descrie printr-o funcţie de o variabilă 5. Interpretarea unor probleme de calcul în vederea optimizării rezultatului 6.

Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor studia: intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f(x)=0, reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, concavitate/convexitate. Funcţii şi ecuaţii • Funcţia putere: ( ) : , n f f x x → = , , 2 n n ∈ ≥ ; • Funcţia radical ( ) : , , 2,3 n f fx xn → = = D , unde D = [0, ∞) pentru n par şi D = pentru n impar; • Funcţia exponenţială ( ) ( ) ( ) : 0, , , 0, , 1 x f f x a a a → ∞ = ∈ ∞ ≠ şi funcţia logaritmică ( ) ( ) ( ) : 0, , log , 0, , 1 a f fx xa a ∞ → = ∈ ∞ ≠ , creştere exponenţială, creştere logaritmică; • Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor: -Ecuaţii iraţionale ce conţin radicali de ordinul 2 sau 3; -Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice de forma: ( ) ( ) fx gx a a= , ( ) log , 0, 1, , a f x b a a a b = > ≠ ∈ , utilizarea unor substituţii care conduc la rezolvarea de ecuaţii algebrice; • Rezolvarea unor probleme care pot fi modelate cu ajutorul ecuaţiilor. 1.

Descrierea unor configuraţii geometrice analitic sau utilizând vectori 2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relaţiilor de paralelism şi de perpendicularitate 3. Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia şi calcul de distanţe şi de arii 4.

Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configuraţii geometrice 5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul şi minimul distanţei 6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorial Geometrie • Reper cartezian în plan, coordonate carteziene în plan, distanţa dintre două puncte în plan.

• Coordonatele unui vector în plan; coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real. • Ecuaţii ale dreptei în plan determinată de un punct şi de o direcţie dată, ale dreptei determinată de două puncte distincte. • Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte din plan, calcule de distanţe şi de arii.

Matematică_Programa de bacalaureat _2009 F_MT3_M3_Filiera vocaţională, profilul artistic, specializarea, arhitectură, arte ambientale, design 5 CLASA a XI-a - 2 ore / săpt. (CD) Competenţe specifice Conţinuturi 1. Caracterizarea unor mulţimi sau a unor funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare 2.

Utilizarea regulilor de calcul cu limite şi derivate 3. Exprimarea în limbajul analizei matematice a unor proprietăţi cantitative şi calitative ale unei funcţii 4. Utilizarea lecturii grafice în aprecierea continuităţii şi derivabilităţii unei funcţii 5.

Interpretarea proprietăţilor unei funcţii prin analiza reprezentării grafice Elemente de analiză matematică Limite de funcţii Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile + ∞ şi − ∞. Limite de funcţii: interpretarea grafică a limitei într-un punct utilizând vecinătăţi, limite laterale pentru: funcţia de gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia logaritmică, exponenţială, funcţia putere (n = 2, 3), funcţia radical (n = 2, 3), funcţia raport de două funcţii cu grad cel mult 2. Calculul limitelor pentru: funcţia de gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia logaritmică, funcţia exponenţială, funcţia putere (n = 2, 3), funcţia radical (n = 2, 3), funcţia raport de două funcţii cu grad cel mult 2, cazuri exceptate la calculul limitelor de funcţii (0/0, ∞/∞, 0 ⋅ ∞) Asimptotele graficului funcţiilor studiate: verticale, orizontale şi oblice.

Funcţii continue Interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii, operaţii cu funcţii continue. Semnul unei funcţii continue pe un interval de numere reale. Funcţii derivabile Tangenta la o curbă.

Derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile. Operaţii cu funcţii care admit derivată, calculul derivatei de ordinul I pentru funcţia de gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia logaritmică, exponenţială, funcţia putere (n = 2, 3), funcţia radical (n = 2, 3), funcţia raport de două funcţii cu grad cel mult 2. Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor Rolul derivatei de ordinul I în studiul funcţiilor: monotonie, puncte de extrem.

Reprezentarea grafică a funcţiilor studiate. NOTĂ: În introducerea noţiunii de limită a unui şir nu se va introduce definiţia cu ε. CLASA a XII-a - 2 ore / săpt.

(CD) Competenţe specifice Conţinuturi 1. Identificarea legăturilor dintre o funcţie continuă şi derivata sau primitiva acesteia 2. Stabilirea unor proprietăţi ale calculului integral prin analogie cu proprietăţi ale calculului diferenţial 3.

Utilizarea algoritmilor pentru calculul unor integrale definite 4. Explicarea opţiunilor de calcul al integralelor definite, în scopul optimizării soluţiilor Elemente de analiză matematică • Probleme care conduc la noţiunea de integrală. Primitive (antiderivate) • Primitivele unei funcţii.

Integrala nedefinită a unei funcţii continue, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. Primitive uzuale. Integrala definită • Definirea integralei Riemann a unei funcţii continue prin formula Leibniz - Newton.

Matematică_Programa de bacalaureat _2009 F_MT3_M3_Filiera vocaţională, profilul artistic, specializarea, arhitectură, arte ambientale, design 6 Competenţe specifice Conţinuturi 5. Utilizarea calculului integral în probleme de măsurare în geometrie plană şi în spaţiu şi compararea rezultatelor cu cele obţinute prin aplicarea unor formule studiate anterior • Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare. • Metode de calcul ale integralelor definite: integrarea prin părţi, integrarea prin schimbarea de variabila.

Calculul integralelor de forma dx x Q x P b a ∫ ) ( ) ( , grad Q≤ 4 prin metoda descompunerii în fracţii simple. Aplicaţii ale integralei definite • Aria unei suprafeţe plane. • Volumul unui corp de rotaţie.

• Lungimea graficului unei funcţii derivabile cu derivata continuă. • Aria unei suprafeţe de rotaţie. Centrul de greutate al unei suprafeţe plane.

NOTĂ: Elaborarea subiectelor pentru bacalaureat se va realiza în conformitate cu prevederile prezentei programe, care este parte a programei şcolare. Subiectele nu vizează conţinutul unui manual anume. Manualul şcolar reprezintă doar unul dintre suporturile didactice utilizate de profesori şi de elevi care ajută la parcurgerea programei şcolare, prin însuşirea de cunoştinţe şi formarea de competenţe.