Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică.

Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică. Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Matematică Programa de bacalaureat –2009 D_MT1_Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.

Statutul disciplinei: Matematica este disciplină obligatorie la proba D. CLASA a IX-a - 4 ore / săpt. (TC+CD) Competenţe specifice Conţinuturi 1.

Identificarea în limbaj cotidian sau în probleme a unor noţiuni specifice logicii matematice şi teoriei mulţimilor 2. Utilizarea proprietăţilor algebrice ale numerelor, a estimărilor şi aproximărilor în contexte variate 3. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real şi utilizarea de algoritmi pentru optimizarea calcului cu numere reale 4.

Caracterizarea unor mulţimi de numere şi a relaţiilor dintre acestea utilizând limbajul logicii matematice şi teoria mulţimilor 5. Analiza unor contexte uzuale şi matematice (de exemplu: redactarea soluţiei unei probleme) utilizând limbajul logicii matematice şi teoria mulţimilor 6. Transpunerea unei situaţii problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei şi interpretarea rezultatului Mulţimi şi elemente de logică matematică • Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos , partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real; operaţii cu intervale de numere reale.

• Propoziţie, predicat, cuantificatori. • Operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, incluziune, egalitate, regulile lui De Morgan). • Tipuri de raţionamente logice: inducţia matematică.

Probleme de numărare. Funcţii 1. Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt şiruri, progresii, funcţii 2.

Utilizarea unor modalităţi variate de descriere a funcţiilor în scopul caracterizării acestora 3. Descrierea unor şiruri/funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare şi raţionament inductiv 4. Caracterizarea unor şiruri folosind reprezentarea grafică sau proprietăţi algebrice 5.

Analiza unor valori particulare în vederea determinării formei analitice a unei funcţii definite pe prin raţionament de tip inductiv 6. Transpunerea unor situaţii-problemă în limbaj matematic utilizând funcţii definite pe Funcţii definite pe mulţimea numerelor naturale (şir) • Modalităţi de a defini un şir, şiruri mărginite, şiruri monotone; exemple simple • Tipuri de şiruri: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general în funcţie de un termen dat şi raţie, suma primilor n termeni ai unei progresii • Condiţia ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică pentru n ≥ 3. Matematică_Programa de bacalaureat _2009_D_MT1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică.

Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică. 2 Competenţe specifice Conţinuturi 1. Identificarea valorilor unei funcţii folosind reprezentarea grafică 2.

Caracterizarea egalităţii a două funcţii prin utilizarea unor modalităţi variate de descriere a funcţiilor 3. Operarea cu funcţii reprezentate în diferite moduri şi caracterizarea calitativă a acestor reprezentări 4. Caracterizarea unor funcţii prin utilizarea graficului funcţiei şi a ecuaţiei asociate 5.

Analiza unor situaţii practice şi descrierea lor cu ajutorul funcţiilor 6. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lectură grafică Funcţii; lecturi grafice • Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru puncte aflate în cadrane. Drepte în plan de forma x = m, sau y = m, m∈ .

• Funcţia: definiţie, exemple, exemple de corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de a descrie o funcţie, lecturi grafice. Egalitatea a două funcţii, imaginea şi preimaginea unei mulţimi printr-o funcţie, graficul unei funcţii, restricţii ale unei funcţii. • Funcţii numerice, F = {f : D→ , D⊆ }; proprietăţi ale funcţiilor numerice introduse prin lecturi grafice: reprezentarea geometrică a graficului, intersecţia cu axele de coordonate, rezolvări grafice de ecuaţii şi inecuaţii de forma f(x) = g(x) (≤, ,≥ ), mărginire, paritate, imparitate (simetria graficului faţă de axa Oy sau faţă de origine), simetria graficului faţă de drepte de forma x = m, m∈ sau faţă de puncte oarecare din plan, periodicitate, monotonie.

• Compunerea funcţiilor; exemple cu funcţii numerice. 1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite 2.

Utilizarea unor metode algebrice şi grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor 3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor şi reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I 4. Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I şi reprezentarea ei geometrică 5.

Interpretarea graficului funcţiei de gradul I utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei 6. Modelarea unor situaţii concrete prin utilizarea ecuaţiilor şi a inecuaţiilor Funcţia de gradul I • Definiţie, intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f(x) = 0, reprezentarea grafică a funcţiei f: → , f(x) = ax+b, a,b∈ • Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonia şi semnul funcţiei. Studiul monotoniei prin semnul diferenţei f(x1) – f(x2) (sau studierea raportului ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , ) f x f x xx x x x x − ∈ ≠ − • Inecuaţii de forma ax + b ≤ 0 (≥, ) studiate pe sau pe intervale de numere reale.

• Poziţia relativă a două drepte, sisteme de tipul ax by c mx ny p + =   + =  , a, b, c, m, n, p ∈ • Sisteme de inecuaţii de gradul I 1. Diferenţierea variaţiei liniare/pătratice prin exemple 2. Completarea unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului 3.

Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului (trasarea prin puncte semnificative) 4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice 5. Utilizarea relaţiilor lui Viète pentru caracterizarea soluţiilor şi rezolvarea unor sisteme 6.

Utilizarea funcţiilor în rezolvarea unor probleme Funcţia de gradul al II-lea • Reprezentarea grafică a funcţiei f : → , ( ) 2 , 0, f x ax bx c a = + + ≠ a,b,c∈ , intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f(x) = 0, simetria faţă de drepte de forma x = m, m∈ . • Relaţiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de forma    = = + p xy s y x s, p∈ Matematică_Programa de bacalaureat _2009_D_MT1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.

3 Competenţe specifice Conţinuturi 1. Identificarea unor moduri de variaţie a datelor 2. Determinarea unor funcţii care satisfac anumite condiţii precizate 3.

Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea ecuaţiilor şi inecuaţiilor şi pentru reprezentarea grafică a soluţiilor 4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii algebrice a unor reprezentări grafice 5. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru determinarea sau aproximarea soluţiilor ecuaţiei asociate 6.

Interpretarea informaţiilor conţinute în reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, aproximări şi strategii de optimizare Interpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea • Monotonie. Studiul monotoniei prin semnul diferenţei f(x1) – f(x2), rata creşterii (descreşterii): ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , f x f x xx x x x x − ∈ ≠ − , punct de extrem, (vârful parabolei). • Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox, semnul funcţiei, inecuaţii de forma 2 ax bx c + + ≤ 0 (≥,) studiate pe sau pe intervale de numere reale, interpretare geometrică: imagini şi preimagini ale unor intervale (proiecţiile unor porţiuni de parabolă pe axe).

• Poziţia relativă a unei drepte faţă de o parabolă: rezolvarea sistemelor de forma    = + + = + y c bx ax y n mx 2 a, b, c, m, n∈ • Rezolvarea sistemelor de forma 2 1 1 1 2 2 2 2 ax bx c y ax bx c y  + + =   + + =  , a1, a2, b1, b2, c1, c2∈ , interpretare geometrică 1. Identificarea elementelor de geometrie vectorială în diferite contexte 2. Transpunerea unor operaţii cu vectori în contexte geometrice date 3.

Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a descrie o problemă practică 4. Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie configuraţii geometrice 5. Identificarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să satisfacă cerinţe date 6.

Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme Vectori în plan • Segment orientat, relaţia de echipolenţă, vectori, vectori coliniari. • Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăţi ale operaţiei de adunare, înmulţirea cu scalari, proprietăţi ale înmulţirii cu scalari, condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi vectori daţi, necoliniari şi nenuli. 1.

Descrierea sintetică sau vectorială a proprietăţilor unor configuraţii geometrice 2. Caracterizarea sintetică sau/şi vectorială a unei configuraţii geometrice date 3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor de coliniaritate, concurenţă sau de paralelism 4.

Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (şi invers) a unei configuraţii geometrice date 5. Interpretarea coliniarităţii, concurenţei sau paralelismului în relaţie cu proprietăţile sintetice sau vectoriale ale unor configuraţii geometrice Coliniaritate, concurenţă, paralelism - calcul vectorial în geometria plană • Vectorul de poziţie al unui punct. • Vectorul de poziţie al punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiţii de paralelism).

• Vectorul de poziţie al centrului de greutate al unui triunghi (concurenţa medianelor unui triunghi). • Teorema bisectoarei, vectorul de poziţie al centrului cercului înscris într-un triunghi; ortocentrul unui triunghi; relaţia lui Sylvester, concurenţa înălţimilor. • Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva.

Matematică_Programa de bacalaureat _2009_D_MT1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică. 4 Competenţe specifice Conţinuturi 1.

Identificarea legăturilor între coordonate unghiulare, coordonate metrice şi coordonate carteziene pe cercul trigonometric 2. Calculul unor măsuri de unghiuri şi arce utilizând relaţii trigonometrice 3. Determinarea măsurii unor unghiuri şi a lungimii unor segmente utilizând relaţii metrice 4.

Caracterizarea unor configuraţii geometrice plane utilizând calculul trigonometric 5. Determinarea unor proprietăţi ale funcţiilor prin lecturi grafice 6. Optimizarea calculului trigonometric prin alegerea adecvată a formulelor Elemente de trigonometrie • Cercul trigonometric, definirea funcţiilor trigonometrice sin, cos: [ ] [ ] 0,2 1,1 π→ − , tg: [0; π ] 2 π       → ; • Definirea funcţiilor trigonometrice: sin: [ ] 1,1 → − , cos: [ ] 1,1 → − tg: D→ , unde D = 2 2 k k π π   + ∈     ctg: D→ unde D={ } k k π ∈ • Formulele de reducere la primul cadran, formule trigonometrice: sin( ) a b + , sin( ) a b − , cos( ) a b + , cos( ) a b − , sin2a, cos2a, sina+sinb, sina − sinb, cosa + cosb, cosa − cosb (transformarea sumei în produs).

1. Identificarea unor metode posibile în rezolvarea problemelor 2. Aplicarea unor metode diverse pentru optimizarea calculelor de distanţe, unghiuri şi arii 3.

Prelucrarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia 4. Analiza unor configuraţii geometrice pentru optimizarea algoritmilor de rezolvare 5. Aplicarea unor metode variate pentru optimizarea calculelor de distanţe, unghiuri şi arii Aplicaţii ale trigonometriei şi ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană • Produsul scalar a doi vectori: definiţie, proprietăţi.

Aplicaţii: teorema cosinusului, condiţii de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic. • Aplicaţii vectoriale şi trigonometrice în geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare. • Calculul razei cercului înscris şi a cercului circumscris în triunghi, calculul lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcul de arii.

Matematică_Programa de bacalaureat _2009_D_MT1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică. 5 CLASA a X-a - 4 ore / săpt.

(TC+CD) Competenţe specifice Conţinuturi 1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere a unui număr real sau complex în contexte specifice. 2.

Determinarea echivalenţei între forme diferite de scriere a unui număr, compararea şi ordonarea numerelor reale. 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere reale sau complexe pentru optimizarea unor calcule şi rezolvarea de ecuaţii.

4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real sau complex funcţie de contexte în vederea optimizării calculelor. 5.

Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere reale sau complexe scrise în forme variate şi utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuaţii. Mulţimi de numere • Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi real ale unui număr pozitiv, aproximări raţionale pentru numere iraţionale sau reale. • Radical dintr-un număr raţional, proprietăţi ale radicalilor.

• Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare. • Mulţimea C. Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operaţii cu numere complexe.

Interpretarea geometrică a operaţiilor de adunare şi de scădere a numerelor complexe şi a înmulţirii acestora cu un număr real. • Rezolvarea în C a ecuaţiei de gradul al doilea cu coeficienţi reali. Ecuaţii bipătrate.

• Numere complexe sub formă trigonometrică (coordonate polare în plan), înmulţirea numerelor complexe şi interpretare geometrică, ridicarea la putere (formula lui Moivre). • Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex. Ecuaţii binome.

1. Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii. 2.

Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, continuitate, convexitate). 3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii.

4. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor. 5.

Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice şi trigonometrice. Funcţii şi ecuaţii • Funcţia putere: ( ) : D, n f f x x → = , n∈ şi 2 n ≥ ; • Funcţia radical: ( ) :D , , , 2 n f fx xn n → = ∈ ≥ , unde D = [0, ∞) pentru n par şi D = pentru n impar; • Funcţia exponenţială ( ) ( ) ( ) : 0, , , 0, , 1 x f f x a a a → ∞ = ∈ ∞ ≠ şi funcţia logaritmică ( ) ( ) ( ) : 0, , log , 0, , 1 a f fx xa a ∞ → = ∈ ∞ ≠ , creştere exponenţială, creştere logaritmică; • Funcţii trigonometrice directe şi inverse. • Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie să fie inversabilă.

• Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor: 1. Ecuaţii iraţionale care conţin radicali de ordinul 2 sau 3; 2. Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice; 3.

Ecuaţii trigonometrice: [ ] sin , cos , 1,1 , x a x a a = = ∈− tg , ctg , x a x a a = = ∈ , ( ) ( ) sin sin fx gx = , ( ) ( ) cos cos fx gx = , ( ) ( ) tg tg f x gx = , ( ) ( ) ctg ctg fx gx = , sin cos a x b x c + = unde , , a b c nu sunt simultan nule. Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor studia: intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f(x)=0, reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, concavitate/convexitate. Matematică_Programa de bacalaureat _2009_D_MT1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică.

Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică. 6 Competenţe specifice Conţinuturi 1. Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul de soluţii admise 2.

Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii problemă date 3. Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv 4. Exprimarea, în moduri variate, a caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare 5.

Interpretarea unor situaţii problemă cu conţinut practic cu ajutorul funcţiilor şi a elementelor de combinatorică. 6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situaţii practice în scopul optimizării rezultatelor Metode de numărare • Mulţimi finite ordonate.

Numărul funcţiilor : f A B → unde A şi B sunt mulţimi finite. • Permutări - numărul de mulţimi ordonate cu n elemente care se obţin prin ordonarea unei mulţimi finite cu n elemente; - numărul funcţiilor bijective : f A B → unde A şi B sunt mulţimi finite. • Aranjamente - numărul submulţimilor ordonate cu câte m elemente fiecare, m ≤ n care se pot forma cu cele n elemente ale unei mulţimi finite; - numărul funcţiilor injective : f A B → unde A şi B sunt mulţimi finite.

• Combinări - numărul submulţimilor cu câte k elemente, unde 0 k n ≤ ≤ ale unei mulţimi finite cu n elemente. Proprietăţi: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente. • Binomul lui Newton.

1. Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, a graficelor şi a diagramelor. 2.

Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru analiza de caz. 3. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor probleme practice.

4. Analiza şi interpretarea unor situaţii practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice. 5.

Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situaţii studiate. Matematici financiare • Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA. • Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice.

• Interpretarea datelor statistice prin parametri de poziţie: medii, dispersia, abateri de la medie. • Evenimente aleatoare egal probabile, operaţii cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile. Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: profit, preţ de cost al unui produs, amortizări de investiţii, tipuri de credite, metode de finanţare, buget personal, buget familial.

1. Descrierea unor configuraţii geometrice analitic sau utilizând vectori. 2.

Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relaţiilor de paralelism şi de perpendicularitate. 3. Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia şi calcul de distanţe şi de arii.

4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configuraţii geometrice. 5.

Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul şi minimul distanţei. 6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorial.

Geometrie • Reper cartezian în plan, coordonate carteziene în plan, distanţa dintre două puncte în plan. • Coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real. • Ecuaţii ale dreptei în plan determinate de un punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei determinate de două puncte distincte • Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte din plan, calcule de distanţe şi de arii.

Matematică_Programa de bacalaureat _2009_D_MT1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică. 7 CLASA a XI-a - 4 ore / săpt.

(TC+CD) Competenţe specifice Conţinuturi 1. Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic 2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces 3.

Aplicarea algoritmilor de calcul în situaţii practice 4. Rezolvarea unor ecuaţii şi sisteme utilizând algoritmi specifici 5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau compatibilitate a unor sisteme şi identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora 6.

Optimizarea rezolvării unor probleme sau situaţii problemă prin alegerea unor strategii şi metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic) Elemente de calcul matriceal şi sisteme de ecuaţii liniare Permutări Noţiunea de permutare, operaţii, proprietăţi. Inversiuni, semnul unei permutări. Matrice Tabel de tip matricial.

Matrice, mulţimi de matrice. Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, înmulţirea unei matrice cu scalar, proprietăţi. Determinanţi Determinant de ordin n, proprietăţi.

Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi şi coliniaritatea a trei puncte în plan. Sisteme de ecuaţii liniare Matrice inversabile din Mn(C), n ≤ 4. Ecuaţii matriceale.

Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute, sisteme de tip Cramer, rangul unei matrice. Studiul compatibilităţii şi rezolvarea sistemelor: proprietatea Kroneker-Capelli, proprietatea Rouche, metoda Gauss. 1.

Caracterizarea unor şiruri şi funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare 2. Interpretarea unor proprietăţi ale şirurilor şi ale altor funcţii cu ajutorul reprezentărilor grafice. 3.

Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme şi modelarea unor procese 4. Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăţi cantitative şi calitative ale unei funcţii 5. Studierea unor funcţii din punct de vedere cantitativ şi calitativ utilizând diverse procedee: majorări, minorări pe un interval dat, proprietăţile algebrice şi de ordine ale mulţimii numerelor reale în studiul calitativ local, utilizarea reprezentării grafice a unei funcţii pentru verificarea unor rezultate şi pentru identificarea unor proprietăţi 6.

Explorarea unor proprietăţi cu caracter local şi/ sau global ale unor funcţii utilizând continuitatea, derivabilitatea sau reprezentarea grafică Elemente de analiză matematică Limite de funcţii Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile + ∞ şi − ∞. Funcţii reale de variabilă reală: funcţia polinomială, funcţia raţională, funcţia putere, funcţia radical, funcţia logaritm, funcţia exponenţială, funcţii trigonometrice directe şi inverse. Limita unui şir utilizând vecinătăţi, proprietăţi.

Şiruri convergente: intuitiv, comportarea valorilor unei funcţii cu grafic continuu când argumentul se apropie de o valoare dată, şiruri convergente: exemple semnificative: ( ) n n a ; ( ) a n n ; 1 1 n n n       +         (fără demonstraţie), operaţii cu şiruri convergente, convergenţa şirurilor utilizând proprietatea Weierstrass. Numărul e; limita şirului ( )1 1 , 0 un n n n u u   + →     . Limite de funcţii: interpretarea grafică a limitei unei funcţii într-un punct utilizând vecinătăţi, calculul limitelor laterale.

Calculul limitelor pentru funcţiile studiate; cazuri exceptate la calculul limitelor de funcţii: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0⋅∞ , 1∞, ∞0, 00. Asimptotele graficului funcţiilor studiate: asimptote verticale, oblice. Continuitate Interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii, studiul continuităţii în puncte de pe dreapta reală pentru funcţiile studiate, operaţii cu funcţii continue.

Semnul unei funcţii continue pe un interval de numere reale proprietatea lui Darboux, studiul existenţei soluţiilor unor ecuaţii în Matematică_Programa de bacalaureat _2009_D_MT1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică. 8 Competenţe specifice Conţinuturi NOTE: În introducerea noţiunilor de limită a unui şir într-un punct şi de şir convergent nu se vor introduce definiţiile cu ε şi nici teorema de convergenţă cu ε.

Se utilizează exprimarea „ proprietatea lui...

.”, „regula lui…”, pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara programei. Derivabilitate Tangenta la o curbă, derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile, operaţii cu funcţii care admit derivată, calculul derivatelor de ordin I şi al II-lea pentru funcţiile studiate.

Funcţii derivabile pe un interval: puncte de extrem ale unei funcţii, teorema lui Fermat, teorema Rolle, teorema Lagrange şi interpretarea lor geometrică, consecinţe ale teoremei lui Lagrange: derivata unei funcţii într-un punct. Regulile lui l’Hospital. Rolul derivatei I în studiul funcţiilor: puncte de extrem, monotonia funcţiilor.

Rolul derivatei a II-a în studiul funcţiilor: concavitate, convexitate, puncte de inflexiune. Reprezentarea grafică a funcţiilor Rezolvarea grafică a ecuaţiilor, utilizarea reprezentării grafice a funcţiilor în determinarea numărului de soluţii ale unei ecuaţii. Reprezentarea grafică a funcţiilor.

Reprezentarea grafică a conicelor (cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă). CLASA a XII-a - 4 ore / săpt. (TC+CD) Competenţe specifice Conţinuturi 1.

Identificarea proprietăţilor operaţiilor cu care este înzestrată o mulţime 2. Evidenţierea asemănărilor şi a deosebirilor dintre proprietăţile unor operaţii definite pe mulţimi diferite şi dintre calculul polinomial şi cel cu numere 3.1 Determinarea şi verificarea proprietăţilor structurilor algebrice, inclusiv verificarea faptului că o funcţie dată este morfism sau izomorfism 3.

2 Folosirea descompunerii în factori a poli- noamelor, în probleme de divizibilitate şi în rezolvări de ecuaţii 4.Utilizarea proprietăţilor operaţiilor în calcule specifice unei structuri algebrice 5.1Utilizarea structurilor algebrice în rezolvarea unor probleme de aritmetică 5.

2 Determinarea unor polinoame, funcţii polinomiale sau ecuaţii algebrice care verifică condiţii date 6.1 Transferarea, între structuri izomorfe, a datelor iniţiale şi a rezultatelor, pe baza proprietăţilor operaţiilor Modelarea unor situaţii practice, utilizând noţiunea de polinom sau de ecuaţie algebrică Elemente de algebră Grupuri • Lege de compoziţie internă (operaţie algebrică), tabla operaţiei, parte stabilă. • Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupuri de permutări, n .

• Morfism, izomorfism de grupuri. • Subgrup. • Grup finit, tabla operaţiei, ordinul unui element.

Inele si corpuri • Inel, exemple: inele numerice ( ) , , , , n , inele de matrice, inele de funcţii reale. • Corp, exemple: corpuri numerice ( ) , , , p , p prim, corpuri de matrice. • Morfisme de inele şi de corpuri.

Inele de polinoame cu coeficienţi intr-un corp comutativ ( , , , p , p prim) • Forma algebrică a unui polinom, funcţia polinomială, operaţii (adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un scalar). • Teorema împărţirii cu rest; împărţirea polinoamelor, împărţirea cu X – a, schema lui Horner. • Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bézout; c.

m.m.d.

c. şi c.m.

m.m.c.

al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori ireductibili. • Rădăcini ale polinoamelor, relaţiile lui Viète. • Rezolvarea ecuaţiilor algebrice cu coeficienţi în , , , , ecuaţii binome, ecuaţii reciproce, ecuaţii bipătrate.

Matematică_Programa de bacalaureat _2009_D_MT1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică. 9 Competenţe specifice Conţinuturi 1.

Identificarea legăturilor dintre o funcţie continuă şi derivata sau primitiva acesteia 2. Identificarea unor metode de calcul ale integralelor, prin realizarea de legături cu reguli de derivare 3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite 4.

Explicarea opţiunilor de calcul al integralelor definite, în scopul optimizării soluţiilor 5. Folosirea proprietăţilor unei funcţii continue, pentru calcularea integralei acesteia pe un interval 6.1 Utilizarea proprietăţilor de monotonie a integralei în estimarea valorii unei integrale definite şi în probleme cu conţinut practic 6.

2. Modelarea comportării unei funcţii prin utilizarea primitivelor sale Elemente de analiză matematică • Probleme care conduc la noţiunea de integrală. Primitive (antiderivate).

• Primitivele unei funcţii. Integrala nedefinită a unei funcţii, proprietăţi ale integralei nedefinite: liniaritate. Primitive uzuale.

Integrala definită • Diviziuni ale unui interval [a, b], norma unei diviziuni, sistem de puncte intermediare. Sume Riemann, interpretare geometrică. Definiţia integrabilităţii unei funcţii pe un interval [a, b].

• Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare. Integrabilitatea funcţiilor continue. • Teorema de medie, interpretare geometrică, teorema de existenţă a primitivelor unei funcţii continue.

• Formula Leibniz - Newton. • Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părţi, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de forma dx x Q x P b a ∫ ) ( ) ( , grad Q ≤ 4 prin metoda descompunerii în fracţii simple.

Aplicaţii ale integralei definite • Aria unei suprafeţe plane. • Volumului unui corp de rotaţie. • Calculul unor limite de şiruri folosind integrala definită.

Notă: Se utilizează exprimarea „ proprietate” sau „regulă”, pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara programei. NOTĂ: Elaborarea subiectelor pentru bacalaureat se va realiza în conformitate cu prevederile prezentei programe, care este parte a programei şcolare. Subiectele nu vizează conţinutul unui manual anume.

Manualul şcolar reprezintă doar unul dintre suporturile didactice utilizate de profesori şi de elevi care ajută la parcurgerea programei şcolare, prin însuşirea de cunoştinţe şi formarea de competenţe.