r4k6kb

Numim ELIPSa proiectia ortogonala a unui cerc pe un plan. Pornind de la aceasta definitie, studiul elipsei este mult mai ancorat in domeniul faptelor stiintifice in care ea intervine si, pe de alta parte, este mai rapid si eficient decat permit alte definitii ale ei.
Figura 1.26
Deoarece proiectia depinde doar de orientarea planului-suport, vom considera un plan care trece prin centrul cercului (fig. 1.26). De la inceput se vede ca elipsa are o directie "privilegiata": este vorba de dreapta de intersectie a planului elipsei cu planul cercului originar. Punctele cercului, aflate pe aceasta dreapta sunt si puncte ale elipsei; mai mult, ele se afla la distanta maxima de centrul comun de simetrie, deoarece nici o alta raza a cercului nu se afla in planul elipsei si, prin rmare, proiectia nici unei alte raze nu poate fi egala cu ea insasi. Prin urmare, segmentul determinat de aceste doua puncte se va numi "axa mare" a elipsei.
Pentru a intreprinde un studiu analitic al elipsei, este natural sa alegem ca origine a sistemelor de referinta centrul comun de simetrie, iar ca axa a absciselor (Ox) suportul axei mari a elipsei. Ca axa a ordonatelor vom alege normala la Ox, in fiecare din cele doua plane; fie acestea OY pentru planul cercului si Oy pentru planul elipsei.
Vom nota cu b masura unghiului dintre cele doua plane, cu R raza cercului si cu E unghiul de orientare al razei corespunzatoare unui punct (curent) de pe cercul originar (fig. 1.26). Cu aceste notatii, utilizand formulele proiectiei ortogonale, rezulta imediat relatiile:
Formula 1-17, deci Formula 1-18 , de unde, notand:
Formula 1-19 , se obtin ecuatiile parametrice ale elipsei in planul ei, fata de sistemul avand originea in centru si ca axa a absciselor axa mare a elipsei:
Formula (1.27)
Evident, toate proprietatile elipsei se pot deduce pe cale analitica, din ecuatiile ei parametrice. Vom mentiona, pe scurt, doar cateva dintre acestea.

Valoarea maxima a abscisei unui punct de pe elipsa este a, iar valoarea maxima a ordonatei este b; spre deosebire de cerc, care este caracterizat printr-un singur parametru (raza), elipsa este caracterizata - deci complet determinata - de parametrii a si b, numiti semiaxa mare, respectiv semiaxa mica a elipsei (fig. 1.27).
Figura 1. 27
Proprietatile de simetrie fata de cele doua axe rezulta imediat din proprietatile functiilor sinus si cosinus, care apar in expresiile coordonatelor carteziene ale punctului curent de pe elipsa. Trebuie sa fie mentionat faptul ca, daca in cazul cercului variabila E avea o semnificatie geometrica intuitiva simpla (unghiul de orientare al razei curente, fata de un diametru de referinta), in cazul elipsei aceasta semnificatie simpla nu mai exista. Va trebui sa consideram aceasta variabila, pur si simplu, ca fiind o marime auxiliara care, variind intre 0 si 360 , genereaza toate pozitiile punctelor de pe elipsa, prin intermediul ecuatiilor parametrice (1.27).
Totusi, semnificatia initiala - mai complicata - a variabilei E , ca si aspectul ecuatiilor (1.27), ne fac sa gasim destul de usor o utilitate intuitiva acestei variabile. intr-adevar, prima ecuatie ne sugereaza x-ul unui punct de pe cercul de raza a, dar a doua ecuatie ne arata y-ul unui punct de pe cercul de raza b, ambele corespunzand unei raze cu unghiul de orientare E.
De aici rezulta un procedeu simplu si eficient de constructie a elipsei, "prin puncte": se vor lua doua cercuri concentrice, de raze a si b (fig. 1.29); pentru a obtine punctul elipsei care corespunde unei anumite valori a lui E, ducem din centru semidreapta care face unghiul respectiv cu axa Ox, obtinem cele doua puncte de intersectie cu cercurile, iar apoi, prin paralele "potrivite", construim punctul de pe elipsa, luand abscisa punctului de pe cercul mare si ordonata punctului de pe cercul mic. Evident, putem construi oricate astfel de puncte dorim. Dat fiind rolul acestor cercuri in "geneza" elipsei, cercul de raza a este numit cercul principal, iar cel de raza b este numit cercul secundar al elipsei.
Figura 1.29