f2b15bt
1. Date de proiectare

I Tipul servomecanismului de c.c.: E 701A
Din catalogul firmei producatoare a motorului se iau urmatoarele date: a) constanta cuplului km = 10.43 aoz×in / Ai = 0.07345 aN×mi; b) constanta t.e.m. ke = 7.71 aV / krpmi = 0.07366 aV×s / radi; c) rezistenta indusului Ra = 0.13 + 0.4 = 0.43 aWi; d) inductivitatea indusului La = 1.13 amHi; e) curentul maxim admis Ia max = 72 aAi; f ) cuplul nominal MN = 150 aoz×ini = 01.0563 aN×mi; g) momentul de inertie rotoric Jm= 0.1 aoz×in×s2i =7.0422×10-4 aN×m×s2i; h) factorul de amortizare (coeficientul de frecare vascoasa) Bm = 5 aoz×in/krpmi = 3.3641×10-4 aN×m×s / radi; i ) rezistenta termica Rth = 2.2 a°C / Wi; j ) cuplul static de frecari Mo = 15 aoz×ini = 0.1056 aN×mi; k) temperatura maxima a indusului qmax = 155 a°Ci; l ) turatia maxima de mers in gol no = 1.9 akrpmi = 198.86 arad / si;
II Coeficientul de transfer al potentiometrului kT = 0.5;
III Raportul de transmisie al inductorului m = 50;
IV Raportul nominal al sarcinii si al motorului Js/JM = 3;
Raportul coeficientilor de frecare vascoasa Bs/BM = 2;

Datele se transforma conform: 1° 1 aoz×ini = 1/142 aN×mi
2° 1akrpmi = 1000×p/30 arad/si

2. Cerinte de proiectare

1. Raspunsul unghiular, la semnal de intrare treapta unitara, sa prezinte o suprareglare mai mica de 10%;
2. Limitarea curentului indusul SMCC, la valoarea maxima admisibila, sa se faca prin ajustarea factorului de amplificare;
3. Amplificatorul final va fi un amplificator de clasa A sau B.

3. Etapele de proiectare

1) Studiul si identificarea sistemului global;
2) Cercetarea si determinarea limitei de stabilitate a sistemului intreg, cu metoda locului radacinilor, considerand factorul de amplificare k = k1×k2, variind intre 0 si ¥;
3) Analiza sistemului la treapta de intrare unitara si determinarea factorului de amplificare optima, koptim;

4. Schema de principiu a sistemului de urmarire cu servomotorul de c.c.

Fig. 1

In figura de mai sus am prezentat un sistem de urmarire. Acest sistem reprezinta un sistem de pozitionare, unde obiectul pozitionat se roteste in conformitate cu miscarea unui alt obiect, ce poarta numele de pilot sau cu variatia unui semnal echivalent de referinta. Astfel, miscarea obiectului pozitionat este determinata de miscarea pilotului (pe care il urmareste), sau de variatia semnalului de referinta.
SMCC antreneaza printr-un reductor un obiect cu sarcina inertiala si cu frecari vascoase. Pozitia acestuia este masurata printr-un traductor potentiometric si comparata cu pozitia de referinta a cursorului unui potentiometru (pilot). Abaterea de pozitie, convertita in tensiune continua, este amplificata. Unghiul de sarcina este marimea de iesire care urmareste variatia unghiului la potentiometrul de intrare.
Sistemul automat de urmarire liniar-analogic functioneaza astfel:
- potentiometrul P1 prescrie o tensiune Ui care se compara cu tensiunea de referinta data de potentiometrul P2 al carui ax este actionat de reductor, astfel ca tensiunea data de el indica si pozitia;
- daca Ui ¹ Ur, atunci se determina automat o tensiune de eroare Ue ¹ 0;
- daca Ue > 0, SMCC se roteste intr-un sens, iar daca Ue < 0, se roteste in sens invers.
Tensiunea de eroare Ue intra in preamplificatorul, care are factorul de amplificare k1, determinand tensiunea U1, care intra amplificatorul de putere, care are factorul de amplificare k2. Astfel rezulta, in urma celor doua amplificari, o tensiune Ua

care va alimenta SMCC si care se va roti astfel incat sa determine tensiunea de eroare sa ajunga la 0, cand SMCC nu va mai fi alimentat si se va opri.
Cand sistemul este actionat din nou, prin potentiometrul P1, se repeta ciclul, astfel incat sa determine in tot timpul ca Ue = 0, rezultand astfel pozitionarea sistemului. Cele doua potentiometre P1 si P2 sunt potentiometre cu variatie liniara. Astfel preamplificatorul primeste tensiunea de eroare Ue, pe care o amplifica ajungand la tensiunea U1, in functie de care se va comanda amplificatorul

4.1 Identificarea sistemului automat

Functiile de transfer ale elementelor componente ale sistemului sunt:
1) Potentiometrele P1 si P2 (identice):
Sistemul utilizeaza doua potentiometre identice, unul de intrare, P1 si altul de iesire P2. Ambele potentiometre au o deplasare unghiulara, iar la iesire dau o tensiune, actionand astfel asupra sistemului:

Fig. 2

dar: Ui = kT×q1 = 0.5×q1;
Ur = kT×q2 = 0.5×q2;
HP1(s) = HP2(s) = Ui / q1 = Ur / q2 = kT = 0.5 aV / radi.

2) Amplificatoarele:

Preamplificatorul are rolul de determina, in functie de semnul tensiunii de eroare, sensul de rotatie al SMCC. El comanda amplificatorul final astfel incat, prin rotirea SMCC in sensul dat, sa se micsoreze tensiunea de eroare Ue. Preamplificatorul ne da la iesire tensiunea U1, iar amplificatorul PWM tensiunea Ua, cu care se alimenteaza SMCC.

Fig. 3

U1 = k1×Ue = k1×(Ui - Ur)
Ha1(s) = , unde k1 este factorul de amplificare pentru preamplificatorul de eroare.
Ua = k2×U1
Ha2(s) = , unde k2 este factorul de amplificare pentru amplificatorul de putere final.
Ha(s) = Ha1(s)×Ha2(s) = k1×k2 = k
Mentionam ca Ua este tensiunea medie pe indusul SMCC.

3) Comparator

Comparatorul are rolul de a compara tensiunea de intrare Ui cu tensiunea de reactie Ur, facand diferenta lor. Marimea de la iesirea comparatorului se numeste eroare sau abatere de reglaj si este notata cu Ue, si se aplica la intrarea unui preamplificator, deoarece are o valoare destul de mica. Cu cat preamplificatorul este mai sensibil, cu atat abaterea stationara este mai mica.

Ue = Ui - Ur

Fig. 4

4) Reductorul

Reductorul reduce turatia cu un raport convenabil si totodata are rolul de a mari momentul de rotatie. Este necesara si o astfel de reducere a turatiei pentru ca miscarea SMCC sa fie compatibila cu miscarea cursorului potentiometrului de referinta. Este realizat cu roti dintate.

W2 = ×W1

Fig. 5

5) Servomotorul de curent continuu

Are rolul de a transforma energia electrica in energie mecanica de rotatie. Se foloseste un SMCC cu excitatie cu magneti permanenti. Ca avantaje ale acestui servomotor sunt pornirile si opririle foarte rapide, tensiunea de pornire foarte mica, raport cuplu-inertie foarte mare si caracteristici de viteza -; cuplu si curent -; cuplu liniare. El este alimentat cu impulsuri de la PWM. SMCC se poate modela cu ajutorul urmatoarelor ecuatii:

Ua = Ra×ia + La× + ke×W, km×ia = Mr + B×W + J× ,
W = , cu notatiile:
B = Bm + Bs = Bm ,
J = Jm + Js = Jm , unde: m -; motor si s -; sarcina.

Daca determinam ca Mr = 0 si aplicam transformata Laplace, cu conditiile initiale nule, asupra ecuatiilor motorului se va obtine:
Ua(s) = (Ra + s×La)×Ia(s) + ke×W(s), km×Ia(s) = (B + s×J)×W(s), q(s) = ×W(s).
Acest sistem de ecuatii este reprezentat in schema bloc de mai jos, obtinandu-se functia de transfer Hm(s) a SMCC comandat pe indus.

Fig. 6

Hm(s) = ,
Hm(s) =
Daca inlocuim valorile din datele de proiectare in expresia de mai sus se va obtine:
Hm(s) = .
Pentru functia de transfer Hm(s) obtinuta se poate reprezenta schema bloc a sistemului de pozitionare, astfel:

q1 Ui U1 Ua W q q2

Ur

Fig. 7 Schema bloc a sistemului

Sistemul obtinut este un sistem automat liniar cu actiune continua (analogic).

4.2 Studiul stabilitatii sistemului

Pentru a determina limitele stabilitatii sistemului folosim metoda locului radacinilor, luand ca parametru factorul de amplificare k = k1×k2.
Functia de transfer, in circuit inchis, a sistemului este: , iar polii functiei de transfer reprezinta solutiile ecuatiei caracteristice 1 + HCD(s) = 0.
HCD(s) este functia de transfer in circuit deschis a sistemului.
Aici avem doua posibilitati:
- sistem stabil: - daca acesti poli sunt cu parte reala negativa;
- sistem instabil: - daca cel putin un pol are parte reala pozitiva;
- daca cel putin o pereche de poli este situata pe axa imaginara;
- daca un pol multiplu este localizat in origine. kI(0,¥), rezulta deci ca se delimiteaza zona de stabilitate a sistemului.
Functia de transfer in circuit deschis este:
HCD(s) = , are 3 poli: s1 = 0 si s2, s3 care pot fi reali sau complecsi.

Fig. 8 Locul radacinilor
Pentru trasarea locului radacinilor am folosit un program scris in MATLAB 6.0 Programul, care a fost conceput pentru a realiza toate graficele necesare acestui proiect, se afla anexate la proiect .
Din figura obtinuta se pot vedea polii s1 = 0 si s2 » - 5, care sunt situati pe axa reala. Polul s3 » - 550 nu l-am mai reprezentat deoarece scara ar fi fost prea mare, iar primii doi poli nu s-ar mai fi distins unul de altul pe grafic.
Prin modificarea, foarte simpla, a factorului de amplificare k, in program, se poate vedea cum se deplaseaza polii functiei de transfer in planul "s". Dand diverse valori lui k si ruland programul am gasit valoarea limita pentru care sistemul este stabil: kL » 950. Pentru valori mai mari ale factorului de amplificare sistemul nu mai prezinta stabilitate, deoarece polii functiei de transfer trec in semiplanul drept al planului "s", adica au partea reala pozitiva.

Rezulta astfel ca putem lua in considerare, in calcule, pentru k valorile din intervalul a0, 950i.

4.3 Analiza sistemului

Daca avem un semnal de intrare treapta unitara (q1 = 1 rad), putem urmari determinarea factorului de amplificare optim, astfel incat sa asiguram o limitare a curentului in indus la valoarea admisibila maxima, respectiv sa avem o suprareglare mai mica de 10% a raspunsului sistemului la acest semnal de intrare. Astfel vom determina urmatoarele marimi: Ia, Ua, W, q2.

a) Variatia curentului Ia
Fie o schema echivalenta schemei bloc a motorului in care Mr = 0, iar bucla t.e.m. a fost eliminata:

Ua Ia M W

Hm

Fig. 9

S-au notat:

Functia de transfer pentru curent se obtine doar daca se tine seama si de schema bloc a sistemului:
H1(s) = .
Inlocuind q1 = 1 / s (treapta unitara) obtinem:
Ia(s) =

Se impune determinarea lui k astfel incat curentul maxim care circula prin motor sa fie mai mic cu 10% de cat curentul maxim admis. In urma rularii programului amintit pentru mai multe valori ale lui k, am obtinut pentru acesta valoarea k =20, pentru care curentul ia(t) respecta conditia pusa mai sus.
In figura urmatoare este reprezentata forma de variatie a curentului, in conditiile amintite.

Fig. 10 Variatia curentului prin indusul SMCC

Din graficul obtinut se observa ca valoarea maxima a curentului este de » 22.5A, si se obtine la timpul t » 0,005 s. Curentul are forma exponentiala aperiodica, si tinde spre valoarea 0.

b) Variatia tensiunii Ua
Revenind la fig. 7, se scoate functia de transfer:
H2(s) = , unde k se cunoaste de la punctul anterior. Pentru q1 = 1 / s se obtine:
U1(s) = si apoi u1(t). Deoarece ua(t) = k2×u1(t) si k1×k2 = k, unde k1 este factorul de amplificare al amplificatorului de eroare si k2 factorul de amplificare al amplificatorului final, putem scrie:

Ua(s) = .
Modul de variatie al tensiunii pe indusul SMCC este dat in figura 11. Graficul a fost realizat cu acelasi program.

Fig. 11 Variatia tensiunii pe indusul SMCC

c) Variatia vitezei W(t)
Se obtine utilizand functia de transfer,
H3(s) = , procedand la fel ca si in cazurile anterioare. Astfel inlocuind q1(s) = 1 / s si pe Hm(s) se obtine:
W(s) = .
Aplicand transformata Laplace inversa asupra ecuatiei de mai sus si dand valori lui t, se poate reprezenta grafic variatia lui W(t), ca in figura 12.

Fig. 12 Variatia vitezei unghiulare a indusului SMCC

d) Variatia unghiului q2
Se obtine utilizand functia de transfer,
H4(s) = , din care, procedand ca si in celelalte cazuri, se obtine expresia: q2(s) = .

In urma rularii programului s-a obtinut grafic forma de variatie a unghiului q2(t) din figura 13.

Fig. 13 Variatia unghiului la iesirea sistemului

Din grafic se observa ca variatia unghiului q2 respecta conditia ca q2max < 1,1 aradi.