1. Sa se studieze omogenitatea functiei de productie Rowe-Sato

si sa se determine expresia principalilor indicatori economici ai pro- ductiei modelata printr-o astfel de functie.

 Rezolvare:

 Forma generala a functiei Rowe-Sato este:

* a K 2 * L 2

( Q K L , ) = ,

* b K 3 + * c L 3

unde Q este volumul fizic al productiei, iar K si L volumul de capital, respectiv de munca angajata in activitatea de productie. a) Omogenitatea functiei se determina conform teoriei (vezi R. Stroe, “Modelarea fenomenelor financiare”, ASE, Bucuresti, 2000, p. 162) astfel:

a * ( λ K ) 2 * ( λ L ) 2

Q ( λ * K , λ * L ) = λ = * ( , Q K L )

b * ( λ K ) 3 + * C ( λ L ) 3

deci functia este omotetica.

b) Principalii indicatori economici (conform aceleiasi trimiteri teoretice ca si la punctul a), p. 173-181) sunt:

• productivitatea medie a muncii:

* a K 2 * L

W L =

* b K 3 + * c L 3

• productivitatea medie a capitalului:

* * a K L b K 2

W K =

* 3 + * c L 3

• productivitatea marginala a muncii:

2 * * b K 2 * - * k c L 2

WmgL = * ( Q K L ) , ,

* b K 3 + * c L 3

unde K este inzestrarea tehnica a muncii. • productivitatea marginala a capitalului:

2 2 1

- * b K + * * * 2 c L

= k * ( )

WmgK , Q K L ,

* b K 3 + * c L 3

• rata marginala de substituire a factorilor (in sensul ca munca este inlocuita prin capital):

2 * * b K 2 * - * k c L 2

( ,RMS K L ) =

2 2 1

- * b K + * * * 2 c L

k

• elasticitatea productiei in raport cu munca:

2 * * b K 2 - * c L 3

E Q L =

* b K 3 + * c L 3

• elasticitea productiei in raport cu capitalul:

* b K 3 + * * 2 c L 3

E Q K =^-

* b K 3 + * c L 3

• elasticitatea ratei marginale de substituire a factorilor in raport cu inzestrarea tehnica a muncii; pentru aceasta este necesar ca mai intai sa rescriem RMS(K,L) ca o functie de k , adica:

2 * * 4 - * - * + * b k c k

RMS k ( ) =

b k 3 2 c

Acum avem:

2 * b 2 * k 6 - 14 * * * b c k 3 + * 2 c 2

E RMS k/ = ( )( )

* b k 3 - * 2 c 2 * * b k 3 - c

 

2. Sa se studieze omogenitatea functiei de productie Cobb-

Douglas si sa se determine expresia principalilor indicatori economici ai productiei modelata printr-o astfel de functie.

 

Rezolvare:

 

Forma generala a functiei Cobb-Douglas este:

( ,Q K L ) = * a K a * L β

cu aceleasi notatii ca mai sus, iar a , a si β sunt parametrii ei. a) Omogenitatea functiei:

Q ( λ * K , λ * = * * L ) a ( λ K ) a ( λ * * L ) β = λ + a β * ( Q K L , )

adeci functia este omogena de gradul h = + β.

b) Principalii indicatori economici sunt: • productivitatea medie a muncii:

W = * a K a * L β 1 -

L

• productivitatea medie a capitalului:

W = * a K a - 1 * L β

K

• productivitatea marginala a muncii:

wmgL a = * * β K a * L β 1 -

• productivitatea marginala a capitalului:

wmgK a = * * a K a - 1 * L β

• rata marginala de substituire a factorilor (in sensul ca munca este inlocuita prin capital).

( RMS K L , ) β a = * k

• elasticitatea productiei in raport cu munca:

E Q L = β

• elasticitatea productiei in raport cu capitalul:

E Q K/ =a

• elasticitatea ratei marginale de substituire a factorilor in raport cu inzestrarea tehnica a muncii:

E RMS k/ = 1

3. Sa se studieze omogenitatea functiei de productie CES si sa se

determine expresia principalilor indicatori economici ai productiei modelata printr-o astfel de functie.

 

Rezolvare:

 

Forma generala a functiei CES este:

( Q K L , ) a a d = * * K - ς ( + - * 1 d ) L - ς i - 1 / ς

a) Omogenitatea functiei:

Q ( λ * K , λ ) a ( * = * * * L a d λ K ) - ς ( ) ( + - * * d λ 1 L ) - ς i - 1 / ς λ = * ( Q K L , )

adica functia este omotetica.

b) Principalii indicatori economici sunt: • productivitatea medie a muncii:

w L a = * * a d k - ς ( + - 1 d ) i - 1/ ς

• productivitatea medie a capitalului:

w K a ( ) = * + - * a d 1 d k ς i - 1/ ς

• productivitatea marginala a muncii:

a i 1

( ) - ς ( ) - ς - - 1 -- ς 1

wmgL = * - * * a 1 d d K + - * 1 d L ς * L =

a i 1

( ) - ς ( ) - - 1

= * - * * a 1 d d k + - 1 d ς

• productivitatea marginala a capitalului:

a i 1

- ς ( ) - ς - - 1 -- ς 1

wmgK = * * * a d d K + - * 1 d L ς