Teoria firelor de aiteptare este acea ramur` a matematicii ce studiaz` fenomenele de aiteptare. Principalele elemente ale problemei fenomenului de aiteptare sunt urm`toarele: y2u6ux
Sursa este mul\imea unit`\ilor ce solicit` un serviciu la un moment dat. Sosirea unit`\ilor an sistemul de aiteptare determin` o variabil` aleatoare V ce reprezint` num`rul de unit`\i care intr` an sistem an unitatea de timp.
Firul de aiteptare este determinat de num`rul unit`\ilor care aiteapt` ii care poate fi limitat sau nelimitat.
Sta\ia de serviciu poate fi un lucr`tor, o maiin` care efectueaz` serviciul solicitat. Timpul de servire a unei unit`\i an sta\ia de serviciu este o variabil` aleatoare W.
Firul de aiteptare, ampreun` cu sta\iile de serviciu formeaz` sistemul de aiteptare.

Cu ajutorul unor metode statistice s-a stabilit c` sosirile clientilor antr-o banc` “X” cu un singur func\ionar, corespunz`tor unui ghiieu, au media de clien\i pe lun`, iar timpul de servire a unui client are o reparti\ie exponen\ial` cu media 0,02 zile.

S` se determine: a) Probabilitatea ca an sistemul de aiteptare s` nu existe nici un client la un moment dat. b) Probabilitatea ca an sistem s` existe 5 clien\i la un moment dat. c) Num`rul mediu de clien\i din sistemul de aiteptare la momentul “t”, num`rul mediu de clien\i care aiteapt` la momentul “t”, num`rul mediu de clien\i care sunt servi\i la un moment dat ii num`rul mediu de clien\i servi\i efectiv antr-o unitate de timp. d) Timpul mediu de aiteptare a unui client p@n` s` fie servit ii timpul mediu de aiteptare an antreg sistemul de aiteptare.

Rezolvare:
Consider`m unitatea de timp ziua, timpul mediu de servire a unui client este egal cu =0,02, unde este media de servire pe unitatea de timp. De aici rezult` c` are valoarea 50, adic` la banc` sunt servi\i 50 de clien\i pe zi.
Vom ob\ine informa\iile dorite folosind urm`toarele formule: constant` (media sosirilor pe lun`) clien\i pe lun`
1 lun` = 4 5 zile lucr`toare clien\i pe zi intensitatea de trafic sau factorul de srviciu (intensitatea servirii) a) p = probabilitatea de a avea 0 clien\i an aiteptare la un moment dat p = 1 - = 1 -; 0,8 = 0,2 b) p = 0,2 (0,8) = 0,2 0,32768 = 0,065536 c) = num`rul mediu de clien\i an sistemul de aiteptare num`rul mediu de clien\i din firul de aiteptare la un moment dat

Capacitatea de servire a clien\ilor este de 50 de clien\i pe zi, dar ea nu este folosit` integral pentru c` exist` perioade de timp an care func\ionarul este an inactivitate pentru c` nu exist` clien\i an sistemul de aiteptare.
Dac` vom calcula num`rul mediu de clien\i ce sunt servi\i la un moment dat, ob\inem , deci este folosit` doar 80% din capacitatea de servire a func\ionarului, ceea ce face ca antr-o zi s` fie efectiv servi\i nu 50 de clien\i, ci numai 80% 50 = 40 de clien\i.
Num`rul mediu de clien\i ce sunt servi\i efectiv antr-o zi coincide cu num`rul de clien\i ce sosesc an medie pe zi, ceea ce este absolut logic antr-un sistem sta\ionar, pentru c` altfel s-ar acumula un num`r din ce an ce mai mare de clien\i an sistemul de aiteptare, gener@nd astfel fenomenul de aglomerare.

d) timpul mediu de aiteptare a unui client an firul de aiteptare (la r@nd) zile timpul mediu de aiteptare a unui client an sistem zile
Se verific` egalitatea:
Anlocuim an formule valorile calculate, ii ob\inem:
0,1 = 0,08 + 0,1 = 0,08 +0,02 0,1 = 0,1 (A)

1. Modelul ( ,1,1)
Dac` vom presupune firul de aiteptare limitat, adic` sistemul de aiteptare va avea o capacitate m`rginit` la “z” clien\i, atunci an firul de aiteptare se vor putea afla cel mult “z -; 1” clien\i. Solicitan\ii care sosesc atunci c@nd an sistemul de aiteptare exist` deja “z” clien\i, vor fi nevoi\i s` apeleze la serviciile altor b`nci pentru efectuarea tranzac\iilor dorite.
An aceast` situa\ie, formulele modelului M ( ,1,1) pot fi adaptate modific@nd acele sume de o infinitate de termeni, sume care acum sunt limitate la num`rul “z”.
Vom analiza cazul particular an care “z” va lua valoarea 10. Astfel, avem: p
An acest caz, nu mai este necesar` condi\ia <1, suma probabilit`\ilor av@nd sens ii pentru 1. p =
Num`rul mediu de clien\i an sistemul de aiteptare este egal cu:


= 2,9663142664841

Num`rul mediu de clien\i an firul de aiteptare:

Timpul mediu de aiteptare a unui client este:

1 -; 0,21879428606 = 0,78120571394

Timpul mediu de aiteptare an sistem va fi:

2.Modelul ( ,1,S)
Presupunem S>1, unde S = num`rul func\ionarilor ce corespund ghiieelor existente an banca “X”.
Fiecare sta\ie are acelaii parametru de servire , sosirile sunt an medie , timpul de servire este exponen\ial, iar trecerea din firul de aiteptare la orice ghiieu liber se face an ordinea sosirilor.
Num`rul mediu de clien\i care sosesc an sistemul de aiteptare este constant iiu este egal cu .
Banca “X” a mai angajat anc` 5 func\ionari, iar acum are 6 func\ionari ce aii desf`ioara activitatea la 6 ghiiee distincte, put@nd s` serveasc` mai mul\i clien\i simultan.
Media sosirilor clien\ilor la banc` se modific`, devenind 4500 clien\i pe lun`, iar timpul mediu de servire a unui client de c`tre un func\ionar este de 0,02 zile.
S` se determine: a) num`rul mediu de clien\i care aiteapt` s` fie servi\i de un func\ionar (la un ghiieu) b) timpul de aiteptare an fir (la r@nd)

Rezolvare:
S = 6 func\ionari (6 ghiiee)
= 4500 clien\i an 20 zile = 225 clien\i pe zi
0,02 zile 50 clien\i pe zi la ghiieu
4,5
=
= =
=
1 + 4,5 + 10,125 +
+ 15,1875 + 17,0859375 + 15,37734375 = 63,27578125
0,0091401151
1,264956226265
4,5
1,264956226265 + 4,5 = 5,764956226265
0.0056220276
0,0056220276 + 0,02 = 0,0256220276
Deoarece num`rul efectiv de clien\i servi\i an unitatea de timp =50 4,5 =225, ceea ce reprezint` ¾ din posibilit`\ile 6 50 = 300, rezult` c` nu este folosit` dec@t 75% din capacitatea de servire a sistemului. Acest fapt poate conduce la concedierea unui func\ionar sau apelarea la serviciile sale doar an orele de v@rf.

Sosirile clien\ilor an banca “X” sunt poissoniene, cu parametrul =10 clien\i pe zi la ghiieu. Pentru servirea acestora se propune angajarea altor 2 func\ionari (corespunz`tor altor dou` ghiiee existente deja). Exist` posibilitatea angaj`rii celor 2 func\ionari dintr-una din urm`toarele categorii:

Categoria Num`rul mediu de clien\i servi\i pe zi Costul operativ (salariul func\ionarului) exprimat an milioane lei
I 10 3,5
II 9 3
III 8 2,5

Num`rul de clien\i este destul de mare pentru a-l considera infinit. Prejudiciul b`ncii cauzat de neservirea unui client (neancasarea comisionului) este de 0,5 mil. lei.

Se cere:
S` se arate din ce categorie trebuie s` fac` parte cei 2 func\ionari astfel anc@t costul global (format din prejudiciul generat de neservirea clien\ilor ii costul operativ) s` fie minim.

Rezolvare:
500000 lei = 0,5 mil. lei = costul neservirii unui client pe zi (costul datorat aitept`rii) costul operativ pe zi al unui func\ionar din categoria “i”, unde i = =1,2,3 , unde num`rul mediu de clien\i din sistemul de aiteptare c@nd cei 2 func\ionari sunt de categoria “i”. are 3 valori (pentru fiecare categorie):
10
9
8
Not`m , pentru i = 1,2,3. Astfel, vom avea:



Avem S = 2 func\ionari ii . Vom ob\ine urm`toarele valori :



Cu ajutorul acestor date, vom putea calcula valorile lui
= , unde probabilitatea de inactivitate pentru fiecare din cele 3 categorii de func\ionari

=
=

=

=
0,61728395061 0,285864981889 = 0,494559905934474

0,80128263888
1
1,111
1,25
0,333 + 1 = 1,333
0,494559905934474 + 1,111 = 1,605559905934474
0,80128263888 + 1,25 = 2,05128263888
2 3,5 + 1,333 0,5 = 7 + 0,6665 = 7,6665
2 3 + 1,605559905934474 0,5 = 6 + 0,802779952967237 =
= 6,802779952967237
2 2,5 + 2,05128263888 0,5 =5 + 1,02564131944 = 6,02564131944
Din rezultatele ob\inute, se observ` c` este mai avantajoas` angajarea a 2 func\ionari de categoria a III-a pentru care costul global este minim.