In urma observatiilor astronomice, J. Kepler a stabilit in anul
1619 legile care descriu miscarea planetelor in jurul Soarelui. ??????,
numite si legile lui Kepler, sunt urmatoarele: p8v17vz
· Planetele se misca pe elipse ce au Soarele situat intr-unul dintre
focare;
· Raza vectoare a planetei descrie arii egale in intervale de timp
egale.
· Patratele perioadelor de revolutie sunt direct proportionale cu cubul
semiaxelor adica: , unde prin perioada de revolutie T se intelege timpul in care planeta
descrie o elipsa completa.
Daca raza vectoare a planetei descrie ariile SAA’ si SBB’ in
intervale egale de timp, conform legii a doua a lui Kepler, aceste arii sunt
egale. In cele ce urmeaza vom trata Soarele si planetele ca pe niste puncte
materiale, avand in vedere ca dimensiunile lor sunt neglijabile
in comparatie cu distantele ce le separa.
In anul 1697, I. Newton a reusit sa explice legile miscarii planetelor
presupunand ca Soarele exercita o forta de atractie asupra planetelor.
Aceasta forta de atractie se manifesta ca forta de atractie din partea Soarelui
care actioneaza asupra planetei Pamant este proportionala cu produsul
dintre masele acestora si invers proportionala cu patratul distantei dintre
ele, fiind indreptata catre Soare dupa directia PS, atunci pot fi exemplificate
cele trei legi ale lui Kepler, s-a presupus deci ca forta este data de relatia: , unde MS este masa Soarelui, MP este masa planetei iar k o constanta de proportionalitate.
Sa cautam, sa demonstram legile lui Kepler. Pentru a scrie pe sub forma vectoriala,
sa consideram vectorul indreptat de la S la P si sa avem in vedere
ca forta are directia lui , dar sensul contrar acestuia. Prin urmare:
.
Momentul acestei forte fata de punctul S este:
.
Folosind ecuatia , rezulta ca momentul cinetic este constant in timp,
pastrand aceeasi marime, directie si sens in tot timpul miscarii.
Din produsul vectorial se observa ca si , ceea ce inseamna ca vectorii
si sunt perpendiculari in tot cursul miscarii pe vectorul constant , adica
si , deci si traiectoria, se afla in planul perpendicular pe , plan care
trece prin S. Traiectoria miscarii este o curba care se gaseste in acelasi
plan.
Determinarea formei geometrice a acestei traiectorii plane necesita calcule
mai complicate care arata ca traiectoria este fie o elipsa, fie o parabola,
fie o hiperbola, dupa cum viteza initiala a corpului aflat sub actiunea fortei
este mai mare sau mai mica.
In cazul planetelor, viteza initiala corespunde conditiilor de miscare
pe elipse. In concluzie, forta explica prima lege a lui Kepler.
Sa consideram acum o portiune din traiectorie. Aria a triunghiului hasurat
este data de modulul vectorului:
.
Impartind cu intervale de timp , in care Pamantul s-a deplasat
din A in B, obtinem: si daca presupunem foarte mic ( = 0) rezulta: , deoarece pentru foarte mic arcul AB coincide cu coarda (in limita = 0).
este tocmai aria suprafetei maturate de raza vectoare in intervalul de
timp . Deoarece = const., pentru orice interval de timp putem scrie:
.
Se vede imediat din ultima relatie ca in unitatea de timp, indiferent
de pozitia instantanee a planetei pe traiectorie, raza vectoare a acestuia descrie
o suprafata de aceeasi marime, .
Prin urmare, in intervale de timp egale, raza vectoare a planetei descrie
arii egale, am obtinut deci si a doua lege a lui Kepler.
Deoarece demonstratia legii a treia a lui Kepler este mai dificila din punct
de vedere matematic, vom simplifica lucrurile, presupunand ca traiectoria
planetei este circulara (aceasta situatie corespunde satelitilor artificiali
care se misca pe orbite circulare). Egaland forta de atractie cu forta
centripeta, obtinem: , unde am avut in vedere ca distanta de la planeta la Soare este egala cu
raza R a cercului. Rezulta de aici relatiile: , deci:
.
Notand constanta cu c, obtinem a treia lege a lui Kepler: , deoarece, in miscarea circulara, distanta de la un punct oarecare de pe
circumferinta pana la centru este egala cu raza cercului. Cercul poate
fi considerat ca un caz particular de elipsa cu semiaxele egale intre
ele si egale cu raza R a cercului.
Daca tinem seama de dimensiunea Soarelui si planetelor, toata expunerea de mai
sus ramane valabila, prin intelegand insa vectorul ce
uneste centrul Soarelui cu centrul planetei.
Dupa cum se remarca din relatia Fext = F0 cos ? t, directia fortei de atractie
trece intotdeauna prin centrul Soarelui. O astfel de forta, a carei directie
trece printr-un punct fix se numeste forta centrala.
Pe langa atractia Soarelui, planeta noastra este supusa si atractiei din
partea celorlalte planete din sistemul solar. Dintre toate acestea, cea mai
importanta este insa forta de atractie a Lunii, care este totusi de 127
de ori mai mica decat atractia solara (mai exact ). Fortele de atractie
a Soarelui si a Lunii sunt dirijate respectiv dupa directiile ce unesc centrul
Pamantului cu centrul celor doua corpuri ceresti, situate la distantele
D si respectiv d (fig. 3).
Forta totala care actioneaza asupra Pamantului este: , deci, in miscarea M de revolutie, Pamantul are acceleratia:
.