Conform Principiului mecanic al relativitatii enuntat de Galilei -; numit
si Principiul relativitatii al lui Galilei, legile si procesele mecanice nu
depind de starea de repaus relativ sau de miscare uniforma si rectilinie a sistemului
de referinta in care au fost descoperite si experimentate. Viteza, avind
valori diferite in sisteme inertiale diferite, reprezinta o exceptie de
la acest principiu. De exemplu, un observator care se deplaseaza cu viteza constanta
pe o sosea rectilinie sau pe o platforma aflata in miscare uniforma pe
sosea, va avea o alta viteza fata de platforma si respectiv fata se sosea. Sa
analizam acest exemplu. u6h16hj
Consideram trei puncte materiale O, O' si M (punctele O si O' reprezinta doua
repere fixate pe sosea si respectiv pe platforma, iar punctul M reprezinta observatorul)
aflate in miscare uniform-rectilinie pe o directie comuna, care au pornit
in acelasi moment de timp si din acelasi loc din spatiu, astfel ca in
raport cu punctul O considerat in repaus relativ, punctele O' si M se
deplaseaza in acelasi sens (cazul in care observatorul se deplaseaza
pe sosea), iar in raport cu punctul O' considerat in repaus relativ,
punctele O si M se deplaseaza in sensuri opuse (cazul in care observatorul
se deplaseaza pe platforma). Aceste doua cazuri sint reprezentate in
Fig.1 si respectiv in Fig.2, unde cu S, S' am notat sistemele de referinta
cu originile O si respectiv O'.
S S'
| |
| O’ |________________________________________
O|_____________________________________________________________________?_M
|ß------------ s1 = v t -----------a|ß------------------
s2 = s - v t --------------------a|
|ß--------------------------------------- s = u t -----------------------------------------------a|
s = u t, s1 = v t, s2 = s -; v t
Fig.1
S S'
| |
| O’ |_________________________________________________?__M
O |____________________________________________________________________
|ß-- s1' = v t' --a|ß-------------------------- s' = u t'
------------------------------a|
|ß--------------------------------- s2' = s' + v t' ---------------------------------------a|
s' = u t', s1' = v t', s2' = s' + v t'
Fig.2
Cu u si v (u > v) am notat viteza punctului M, respectiv viteza punctelor
O, O’ unul fata de altul, cu s, s1 si s2 am notat distantele parcurse
in timpul t de punctele M si O' in raport cu punctul O, respectiv
distanta parcursa in timpul t de punctul M in raport cu punctul
O', iar cu s', s1', s2' am notat distantele parcurse in timpul t' de punctele
M si O in raport cu punctul O', respectiv distanta parcursa in timpul
t' de punctul M in raport cu punctul O.
Evident t ? t', deoarece observatorul nu se poate deplasa in acelasi timp
si cu aceeasi viteza in sisteme inertiale diferite - atit pe sosea
cit si pe platforma. Totodata, se constata ca distanta parcursa intr-un
sistem de referinta poate fi cel mult proportionala cu distanta parcursa in
raport cu sistemul de referinta respectiv. De exemplu, comparind distantele
s si s' parcurse de observator pe sosea si respectiv pe platforma cu distantele
s'2 si respectiv s2 parcurse de observator fata de sosea si respectiv fata de
platforma, constatam ca acestea pot fi cel mul proportionale, asadar rezulta
relatiile s = k (s' + v t'), s' = k (s - v t) (*) unde k este un factor de proportionalitate neunitar ce va fi determinat.
Desigur ca oricare ar fi locul si momentul in care se afla, presupunind
ca se deplaseaza pe sosea, observatorul se poate intreba care ar fi locul
si momentul in care s-ar afla in cazul in care ar dori sa-si
continue deplasarea pe platforma, sau care ar fi fost locul si momentul in
care s-ar fi aflat in ipoteza ca s-ar fi deplasat chiar de la inceput
pe platforma, sau, in sfirsit, care este locul si momentul in
care se afla in ipoteza ca tocmai a trecut de pe sosea pe platforma. In
ce priveste locul in care s-ar afla, s-ar fi aflat sau se afla in
cazurile anterior mentionate, raspunsul este cunoscut daca poate fi calculata
distanta s' exprimata in cea de a doua relatie din (*).
Presupunind ca observatorul se deplaseaza pe sosea, vom spune despre aceasta
deplasare ca este reala, iar despre deplasarea posibila (dar care nu s-a produs
in fapt) a observatorului pe platforma ca este virtuala. In acest caz,
timpul t si distantele reprezentate in Fig.1 sint reale, iar timpul
t' si distantele reprezentate in Fig.2 sint virtuale. Ca urmare,
cea de a doua relatie din (*) exprima distanta virtuala parcursa de observator
pe platforma in functie de distanta reala parcursa de observator fata
de platforma. In eventualitatea schimbarii sistemului de referinta, deci daca
observatorul trece de pe sosea pe platforma, atunci deplasarea observatorului
pe platforma devine reala, iar deplasarea observatorului pe sosea devine virtuala.
In acest caz, prima relatie din (*) exprima distanta virtuala parcursa observator
pe sosea in functie de distanta reala parcursa de observator fata de sosea.
Pentru a determina factorul k, in prealabil este necesar sa punem in
evidenta existenta relatiilor t = k (t' + s'), t' = k (t - s) (**) care pot fi deduse in acelasi mod in care au fost deduse si relatiile
(*), insa de data aceasta fixind locul din spatiu in care
se gasesc puncrele O, O', M si exprimind in timp intervalul dintre
ele.
Pornim de la relatiile s = u t (11) s1 = v t (21) s2 = s - v t (31) care descriu miscarea in spatiu in timpul t a punctelor O, O’,
M reprezentata in Fig.1. Aceste relatii au fost obtinute pe baza ipotezei
ca miscarea este relativa in spatiu si absoluta in timp. Cu alte
cuvinte, am presupus ca numarul unitatilor de masura parcurse in spatiu
este relativ si ca numarul unitatilor de masura parcurse in timp este
absolut. Notind cu m unitatea de masura pentru spatiu si cu h0 distanta
parcursa de punctul M in raport cu punctul O in unitatea de timp, h0 = u m (a0) distanta dintre punctele O si M in momentul t se poate reprezenta sub
forma
OM = s m = t h0 (ß0)
Sau, notind cu h1 distanta parcursa de punctul O’ in raport
cu punctul O in unitatea de timp, h1 = v m (a1) distanta dintre punctele O si O’ in momentul t se poate reprezenta
sub forma
OO’ = s1 m = t h1 (ß1)
Relatiille (a1), (ß1) pot fi obtinute din relatiile (a0), (ß0) presupunind
ca OO’ = a OM si notind h1 = a h0, v = a u, s1 = a s, unde a este
este un factor pozitiv subunitar (0 < a < 1).
Se observa ca din (a0) si (ß0) rezulta (11), iar din (a1) si (ß1)
rezulta (21). Egalitatea (31) se obtine tinind cont ca O’M = OM
-; OO’, asdar scazind (21) din (11) si notind s2 = s
- s1.
In mod similar, pornind de la ipoteza ca miscarea este relativa in timp
si absoluta in spatiu, rezulta relatiile t = s (12) t1 = s (22) t2 = t - s (32) care descriu miscarea in timp pe distanta s a punctelor O, O’, M.
In acest caz am presupus ca numarul unitatilor de masura parcurse in timp
este relativ si ca numarul unitatilor de masura parcurse in spatiu este
absolut. Notind cu h unitatea de masura pentru timp si cu m0 intervalul
de timp parcurs de punctul M in raport cu punctul O pe unitatea de spatiu, m0 = h (?0) intervalul de timp dintre punctele O si M in locul s se poate reprezenta
sub forma
OM = t h = s m0 (d0)
Tinind cont de (?0), din (d0) rezulta (12).
Pe de alta parte, daca amplificam relatiille (?0) si (d0) cu factorul a si avem
in vedere notatiile m1 = a m0, v = a u, t1 = a t, rezulta relatiile m1 = h (?1) si respectiv
OO’ = t1 h = s m1 (d1) pe baza carora rezulta relatia (22). In sfirsit, notind t2 = t -;
t1, din (12) si (22) rezulta (32).
Intervalele de timp de marime h si h parcurse de punctele M si respectiv O’
in raport cu punctul O (calculate in ipoteza ca miscarea este relativa
in timp si absoluta in spatiu) corespund distantelor de marime m
si m parcurse de punctele M si respectiv O’ in raport cu punctul
O (calculate in ipoteza ca miscarea este relativa in spatiu si absoluta
in timp).
Reunite, relatiile (11), (21), (31) si (12), (22), (32) se scriu s = u t, t = s (1) s1 = v t, t1 = s (2) s2 = s - v t, t2 = t - s (3)
Cum se constata, relatiile (1), (2), (3) pot fi obtinute daca pornim de la ipoteza
ca miscarea in spatiu si timp este atit absoluta cit si relativa.
In cazul miscarii absolute, intervalul spatiu-timp parcurs este absolut, iar
in cazul miscarii relative, intervalul spatiu-timp parcurs este relativ.
In primul caz, miscarea in spatiu si timp a punctelor O, O’ M este
definita de modificarea locului-moment in care se afla, iar in cazul
al doilea, miscarea in spatiu si timp a punctelor O, O’ M este definita
de modificarea intervalului spatiu-timp dintre ele. Modul cum se modifica distantele
relative dintre punctele O, O’, M, in cazul in care se modifica
momentul absolut in care se afla, este descris de relatiile (11), (21),
(31), iar modul cum se modifica intervalele de timp relative dintre punctele
O, O’, M, in cazul in care se modifica locul absolut in
care se afla, este descris de relatiile (12), (22), (32).
Pornind de la miscarea in spatiu in timpul t’ descrisa in
Fig.2 si avind in vedere ipoteza mai sus mentionata, se obtin relatiile
s' = u t', t' = s' (1') s'1 = v t', t'1 = s' (2') s'2 = s' + v t', t'2 = t' + s' (3')
In acest caz, in locul-moment absolut (s’, t’), intre
punctele O' si M exista intervalul spatiu-timp relativ (s’, t’)
dat de (1’), intre punctele O si O’ exista intervalul spatiu-timp
relativ (s’1, t’1) exprimat in (2’), iar conform (3’),
intre punctele O si M exista intervalul spatiu-timp relativ (s’2,
t’2).
In continuare, comparind intervalul spatiu-timp real cu intervalul spatiu-timp
virtual dintre punctele O si M, presupunind ca acestea sint (s,
t) dat de relatiile (3) si respectiv (s’2, t’2) dat de relatiile
(3’), rezulta sistemul de ecuatii cu doua necunoscute s = k (s' + v t'), t = k (t' + s') (4) care, rezolvat in raport cu s', t', conduce la solutiile s' = k (s - v t), t' = k (t - s) (4') unde factorul k are valoarea k = (5)
Se observa ca relatiile (4) si (4') sint de fapt (*) si (**).
Relatiile (4) si (4') definesc trecerea dintr-un sistem de referinta inertial
intr-un alt sistem de referinta inertial. Cum se constata, intervalul
spatiu-timp virtual parcurs intr-un sistem de referinta, de exemplu intervalul
spatiu-timp (s’, t’) parcurs de punctul M in raport cu punctul
O’ in sistemul de referinta S’, nu se identifica cu intervalul
spatiu-timp real parcurs in raport cu sistemul de referinta respectiv,
asadar cu intervalul spatiu-timp (s2, t2) parcurs de punctul M in raport
cu punctul O’ in sistemul de referinta S. Pe de alta parte, cunoscind
intervalul spatiu-timp real parcurs in raport cu un sistem de referinta,
putem determina intervalul spatiul-timp virtual parcurs in sistemul de
referinta respectiv. Aceste concluzii rezulta din relatiile (4’), in
ipoteza ca miscarea punctului M in sistemul de referinta S este reala.
In cazul schimbarii sistemului de referinta, intervalul spatiu-timp virtual
devine real, iar intervalul spatiu-timp real devine virtual. De exemplu, daca
presupunem ca incepind din locul-moment (s, t) in sistemul
de referinta S, respectiv (s’, t’) in sistemul de referinta
S’, punctul M isi continua deplasarea reala in sistemul de
referinta S’, atunci intervalul spatiu-timp (s’, t’) devine
real, iar intervalul spatiu-timp (s, t) devine virtual. In acest caz, pentru
a determina intervalul spatiu-timp virtual (s, t) parcurs de punctul M in
raport cu punctul O in sistemul de referinta S, in functie de intervalul
spatiu-timp real (s’2, t’2) parcurs de punctul M in raport
cu punctul O in sistemul de referinta S’, utilizam relatiile (4).
Cele mai sus prezentate conduc la concluzia ca nu viteza reprezinta o exceptie
de la Principiul mecanic al relativitatii, asa cum afirmam la inceput,
ci spatiul si timpul. Intr-adevar, este exclusa posibilitatea deplasarii cu
aceeasi viteza "in raport" cu sisteme inertiale diferite, dar
asta nu inseamna ca este exclusa posibilitatea deplasarii cu aceeasi viteza
"in" sisteme inertiale diferite. Evident, aceasta concluzie
este valabila in ipoteza ca schimbarea sistemului de referinta este definita
de relatiile (4) si (4’), nu de relatiile (3) si (3’) (transformarile
Galilei).