Intalnita sub forma de problema sau sub forma de “curiozitate”
in fizica distractiva , tunelul ce strabate Pamantul prin care cad corpuri de
la suprafata z4t17tn
Acestuia ofera cititorului nu numai destindere si amuzament , dar si interesante
consideratii de ordi stiintific. Astfel , imaginandu-ne ca un corp de masa m
cade de la suprafata Pamantului prin centrul acestuia , se pune problema determinarii
legii miscarii acestui corp , cat si a caracteristicelor miscarii.
Daca notam cu Mp - masa Pamantului , evident m << Mp.
Pentru a gasi ecuatia miscarii corpului de masa m presupunem ca la un moment
dat corpul se afla la distanta r < Rp de centrul O al Pamantului
( Rp -; raza Pamantului ). Corpul va interactiona gravitational numai cu
portiunea de masa M a Pamantului avand raza r . Prsupunand Pamantul sferic si
de densitate constanta , forta ce actioneaza asupra corpului de masa m are valoarea
:
F(r) = -gmM / r² (1)
Dar :
M / Mp = (r / Rp ) ³ => M = Mp (r / Rp ) ³ . (2)
Inlocuind cea de-a doua relatie in prima se obtine :
F(r) = -gmMpr / Rp³ = -Kr (3)
in care prin g s-a notat constanta atractiei universale , iar prin
k = gmMp / Rp³ (4)
o constanta de proportionalitate.
Din expresia fortei rezulta ca asupra corpului de masa m actioneaza o forta
de tip elastic si care imprima deci acestuia o miscare oscilatorie avand pulsatia
:
1 1 1
w = ( k / m ) = ( gMp / Rp ³ ) = ( go / Rp ) , (5)
in care go = gMp / Rp ² reprezinta acceleratia gravitationala la suprafata
Pamantului .
Perioada acestei miscari rezulta a fi :
1
T = 2p / w = 2p ( Rp / go ) . (6)
6
Inlocuind in relatia perioadei Rp = 6370 km = 6,37 * 10 m si go = 9,81 m / s² , rezulta T = 5 * 10³ s = 84,3 min .
Ecuatia miscarii oscilatorii armonice este de forma :
y = rmax sin (wt + j ) . (7)
Cum la t = 0 , rmax = Rp (corpul cade de la suprafata Pamantului ) , rezulta
ca sin j = 1 => j = p / 2 si deci
1 1 y = Rp sin a t ( go / Rp ) + p / 2 i = Rp cos a t ( go / Rp ) i . (8)
Ca urmare viteza si acceleratia corpului de masa m sunt : u = wrmax cos ( wt + j ) (9) a = - w² rmax sin ( wt + j ) (10)
Avand in vedere miscarea oscilatorie si ecuatia miscarii , acceleratia si viteza
corpului capata forma :
1 1 u = - ( go*Rp ) sin a t ( go / Rp ) i ; umax = ( go*Rp ) . (11)
1 a = - go cos a t ( go / Rp ) i ; amax = go . (12)
Din prima relatie se constata ca viteza maxima a corpului reprezinta prima
viteza cosmica ( viteza unui satelit artificial pe o orbita situata in imediata
vecinatate a suprafetei Pamantului ) .
1 u = u1 = ( go*Rp ) = 7,9 km / s .
Aceasta viteza este atinsa atunci cand corpul trece prin centrul Pamantului
si , dupa cum se stie , ea reprezinta o valoare caracteristica a campului gravitational
al planetei noastre .
Cititorul poate constata usor ca aceasta valoare a vitezei se poate obtine usor
prin considerente de ordin energetic , aplicand legea conservarii energiei corpului
scrisa pentru centrul Pamantului .
Din relatia acceleratiei corpului rezulta ca ea este maxima la suprafata Pamantului
.
Asadar corpul lasat sa cada prin acest tunel ajunge la celalalt capat in aproximativ
42 minute fara nici un consum de energie ( daca neglijam frecarile ) si revine
in acelasi punct dupa aproximativ 48 minute care reprezinta perioada miscarii
oscilatorii a corpului .
Aceeasi perioada o are si satelitul artificial al Pamantului ce se misca pe
o traiectorie circulara in imediata vecinatate a acestuia ( teoretic la suprafata
Pamantului , h = 0 ) .
In fond , miscarea corpului de masa m in tunelul imaginar care trece prin centrul
Pamantului poate fi descrisa ca proiectia pe diametrul AB (prima figura ) a miscarii circulare a unui satelit artficial in jurul Pamantului ,
in imediata vecinatate a suprafetei acestuia , asa cum se studiaza de regula
, elementar miscarea oscilatorie armonica . Este de consemnat apoi faptul ca
aceeasi perioada ( T = 84,3 minute ) o are si un pendul gravitational cu lugimea
l = Rp care ar oscila la suprafata Pamantului . De asemenea este interesant
si faptul ca pentru o lungime a pendulului , L care ar tinde la infinit perioada
este aceeasi .
In sfarsit , daca tunelul care traverseaza Pamantul ar fi imaginat pe directia
unei corzi ( nu a unui diametru ) al Pamantului , corpul de masa m va aveaaceeasi
miscare oscilatorie armonica cu perioada T = 84,3 min , cu deosebirea ca de
aceasta data ecuatiile miscarii devin :
1 y = | Rp cos a | cos a t ( go / Rp ) i . (13)
1 1 u = - | ( go*Rp ) cos a | sin a t ( go / Rp ) i . (14)
1 a = - | go cos a | cos a t ( go / Rp ) i , (15)
in care prin a s-a notat unghiul pe care il face coarda cu diametrul AB .
Toate rationamentele facute au suportul unor “ tunele imaginare “
ce s-ar face prin Pamant .
Tehnic si tehnologic asemenea tunele , prin care s-ar putea valorifica energia
gravitationala a planetei pe care traim , nu sunt deocamdata posibile Desigur
ca intr-un viitor previzibil cercetarile care se fac astazi vor pune in valoare
noi cai de utilizare a energiei gravitationale printre care , de ce nu , si
aceasta cale care pentru momentul de fata reprezinta doar un joc de inteligenta
.