1. Notiuni generale

In general, pentru situatiile care necesita la rezolvare un oarecare efort mintal (si un caz tipic este cel al celor din economie), se cauta, in primul rand, o metoda de reprezentare a lor care sa permita receptarea intregii probleme dintr-o privire (pe cat posibil) si prin care sa se evidentieze cat mai clar toate aspectele acesteia.

In acest scop se folosesc imagini grafice gen diagrame, schite, grafice etc. O reprezentare dintre cele mai utilizate este cea prin grafuri. Acestea sunt utilizate in special pentru vizualizarea sistemelor si situatiilor complexe. In general, vom reprezenta componentele acestora prin puncte in plan iar relatiile (legaturile, dependentele, influentele etc) dintre componente prin arce de curba cu extremitatile in punctele corespunzatoare. Intre doua puncte pot exista unul sau mai multe segmente (in functie de cate relatii dintre acestea, care ne intereseaza, exista) iar segmentelor li se pot asocia sau nu orientari (dupa cum se influenteaza cele doua componente intre ele), numere care sa exprime intensitatea relatiilor dintre componente etc.

Este evident, totusi, ca aceasta metoda are limite, atat din punct de vedere uman (prea multe puncte si segmente vor face desenul atat de complicat incat se va pierde chiar scopul pentru care a fost creat – claritatea si simplitatea reprezentarii, aceasta devenind neinteligibila) cat si din punct de vedere al tehnicii de calcul (un calculator nu poate "privi" un desen ca un om).

Din acest motiv, alaturi de expunerea naiv-intuitiva a ceea ce este un graf, data mai sus, se impune atat o definitie riguroasa cat si alte modalitati de reprezentare a acestora, adecvate in general rezolvarilor matematice.

Definitia 1 Se numeste multigraf un triplet G = (X, A, f) in care X si A sunt doua multimi iar f este o functie, definita pe produsul vectorial al lui X cu el insusi (X² = X×X), care ia valori in multimea partilor multimii A (notata P(A))

Multimea X se numeste multimea nodurilor multigrafului si elementele sale se numesc noduri (sau varfuri) ale multigrafului, iar A reprezinta multimea relatiilor (legaturilor) posibile intre doua noduri ale multigrafului.

Definitia 2 Se numeste graf orientat un multigraf in care multimea A are un singur element: A = AaS.

In acest caz multimea partilor multimii A are doar doua elemente: multimea vida ∅ si intreaga multime A. Daca unei perechi orientate (x_i, x_j) din X² i se asociaza prin functia f multimea A atunci spunem ca exista arc de la nodul x_i la nodul x_j iar perechea (x_i,x_j) se va numi arcul (x_i,x_j). Nodul x_i se numeste nod initial sau extremitate initiala a arcului (x_i,x_j) iar nodul x_j se numeste nod final sau extremitate finala a arcului (x_i,x_j). Arcul (x_i,x_j) este incident spre interior varfului x_j si incident spre exterior varfului x_i. Daca pentru un arc nodul initial coincide cu nodul final atunci acesta se numeste bucla. Nodurile x_i si x j se vor numi adiacente daca exista cel putin unul

din arcele (x_i,x_j) si (x_j,x_i).

Daca unei perechi orientate (x_i, x_j) din X² i se asociaza prin functia f multimea vida ∅ atunci spunem ca nu exista arc de la nodul x_i la nodul x_j.

Este evident ca a cunoaste un graf orientat este echivalent cu a cunoaste varfurile si arcele

sale. Din acest motiv putem defini un graf orientat prin perechea (X,U), unde X este multimea varfurilor sale iar U multimea arcelor sale.

De asemenea, putem cunoaste un graf orientat cunoscand multimea nodurilor si, pentru fiecare nod, multimea arcelor incidente spre exterior. Din acest motiv putem defini un graf orientat ca o pereche (X,G) unde X este perechea nodurilor iar G este o functie definita pe X cu valori in

multimea partilor lui X, valoarea acesteia intr-un nod x_i, G(x_i) ⊆ X fiind multimea nodurilor adiacente nodului x_i, prin arce pentru care x_i este extremitatea initiala.

Definitia 3 Se numeste graf neorientat un multigraf in care multimea A are un singur element iar functia f are proprietatea:

fa(x_i,x_j)i = fa(x_j,x_i)i , oricare ar fi nodurile x_i si xdin X

In aceste conditii, daca fa(x_i,x_j)i = fa(x_j,x_i)i = A atunci perechea neorientata Ax_i,x_jS este o j

muchie iar daca fa(x_i,x_j)i = fa(x_j,x_i)i = ∅ spunem ca nu exista muchie intre varfurile x_i si x_j. Deoarece, in cele mai multe din cazurile practice care vor fi analizate in acest capitol,

situatia este modelata matematic printr-un graf orientat, vom folosi, pentru simplificarea expunerii, denumirea de graf in locul celei de graf orientat iar in cazul in care graful este neorientat vom specifica acest fapt la momentul respectiv.

2. Moduri de reprezentare ale unui graf

A. O prima modalitate de reprezentare este listarea efectiva a tuturor nodurilor si a arcelor sale.

B. Putem reprezenta graful dand pentru fiecare nod multimea nodurilor cu care formeaza arce in care el este pe prima pozitie.

C. Putem reprezenta geometric graful, printr-un desen in plan, reprezentand fiecare nod printr-un punct(cerculet) si fiecare arc printr-un segment de curba care are ca extremitati nodurile arcului si pe care este trecuta o sageata orientata de la nodul initial spre cel final.

D. Putem folosi o reprezentare geometrica in care nodurile sunt reprezentate de doua ori, in doua siruri paralele, de la fiecare nod din unul din siruri plecand sageti spre nodurile cu care formeaza arce in care el este pe prima pozitie, de pe al doilea sir (reprezentarea prin corespondenta).

E. Un graf poate fi reprezentat printr-o matrice patratica booleana, de dimensiune egala cu numarul de noduri, in care o pozitie a_ij va fi 1 daca exista arcul (x_i,x_j) si 0 in caz contrar, numita matricea adiacentelor directe.

F. Un graf poate fi reprezentat printr-o matrice patratica latina, de dimensiune egala cu numarul de noduri, in care pe o pozitie a_ij va fi x_ix_j daca exista arcul (x_i,x_j) si 0 in caz contrar.

Exemplu: Daca in reprezentarea A avem graful G = (X,U), unde X = Ax₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆S

si U = A(x₁,x₁), (x₁,x₂), (x₁,x₄), (x₁,x₅), (x₂,x₃), (x₂,x₄), (x₂,x₆), (x₃,x₁), (x₃,x₂), (x₄,x₅), (x₅,x₂), (x₆,x₄)S, atunci in celelalte reprezentari vom avea:

B x₁ → Ax₁, x₂, x₄, x₅S C

x₂ → Ax₃, x₄, x₆S x₃ → Ax₁, x₂S x₁ x₂

x₄ → Ax₅S x₅ → Ax₂S x₆ x₃

x₆ → Ax₄S

D (reprezentarea prin corespondenta) x₅ x₄

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

 

 

 

 

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

E F

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₁ 1 1 0 1 1 0 x₂ 0 0 1 1 0 1 x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₁ x₁x₁x₁x₂ 0 x₁x₄x₁x₅ 0 x₂ 0 0 x₂x₃x₂x₄ 0 x₂x₆

x₃ 1 1 0 0 0 0 x₄ 0 0 0 0 1 0 x₃ x₃x₁x₃x₂ 0 0 0 0 x₄ 0 0 0 0 x₄x₅ 0

x₅ 0 1 0 0 0 0 x₆ 0 0 0 1 0 0 x₅ 0 x₅x₂ 0 0 0 0 x₆ 0 0 0 x₆x₄ 0 0

3. Concepte de baza in teoria grafurilor

1. semigraf interior al unui nod x_k: este multimea arcelor U - = A(x _j,x_k)/ (x_j,x_k) ∈ US care

x k

sunt incidente spre interior nodului x_k;

2. semigraf exterior al unui nod x_k: este multimea arcelor U + x = A(x _k,x_i)/ (x_k,x_i) ∈ US care

k

sunt incidente spre exterior nodului x_k;

3. semigradul interior al unui nod x_k: este numarul arcelor care sunt incidente spre interior

- -d

4. semigradul exterior al unui nod x_k: este numarul arcelor care sunt incidente spre nodului x_k = cardinalul lui U si se noteaza cu ;

x k x k

exterior nodului x_k = cardinalul lui U + d + si se noteaza cu ;

x k x k

5. gradul unui nod x_k: este suma semigradelor nodului x_k: d = d + + d - ;

x k x