Definim pe multimea CaXi doua operatii algebrice: adunarea si inmultirea.

· Adunarea polinoamelor:

Fie , doua elemente din multimea CaXi; atunci definim: ,

· Proprietatile adunarii polinoamelor: o5n18nu
(CaXi,+) se numeste grup abelian

1. Asociativitatea

, CaXi
Intr-adevar, daca , si atunci avem si deci .
Analog, obtinem ca . Cum adunarea numerelor este asociativa, avem , pentru orice .

2. Comutativitatea

, CaXi
Intr-adevar, daca si , avem ,
Cum adunarea numerelor complexe este comutativa, avem pentru orice . Deci .

3. Element neutru

Polinomul constant 0=(0,0,0,…) este element neutru pentru adunarea polinoamelor, in sensul ca oricare ar fi CaXi,avem:


4. Elemente inversabile

Orice polinom are un opus, adica oricare ar fi CaXi, exista un polinom, notat , astfel incat:

De exemplu, daca este un polinom, atunci opusul sau este

· Inmultirea polinoamelor:

Fie ,
Atunci definim: ck

· Proprietatile inmultirii:

1. Asociativitatea

Oricare ar fi CaXi, avem:


2. Comutativitatea

Oricare ar fi CaXi,avem:

Intr-adevar, daca , , atunci notand si , avem si . Cum adunarea si inmultirea numerelor complexe sunt comutative si asociative, avem cr=dr, pentru orice . Deci .

3. Element neutru

Polinomul 1=(1,0,0,…) este element neutru pentru inmultirea polinoamelor, adica oricare ar fi CaXi,avem:


4. Elemente inversabile

CaXi este inversabil daca exista ,a.i.:

Singurele polinoame inversabile sunt cele constante nenule: , a¹0.

5. Distributivitatea

Oricare ar fi polinoamele CaXi,are loc relatia: