Referat, comentariu, eseu, proiect, lucrare bacalaureat, liceu si facultate
Top referateAdmitereTesteUtileContact
      
    
 
 


Ultimele referate adaugate

Adauga referat - poti sa ne ajuti cu un referat?



Ultimele referate descarcare de pe site
  CREDITUL IPOTECAR PENTRU INVESTITII IMOBILIARE (economie)
  Comertul cu amanuntul (economie)
  IDENTIFICAREA CRIMINALISTICA (drept)
  Mecanismul motor, Biela, organe mobile proiect (diverse)
  O scrisoare pierduta (romana)
  O scrisoare pierduta (romana)
  Ion DRUTA (romana)
  COMPORTAMENT PROSOCIAL-COMPORTAMENT ANTISOCIAL (psihologie)
  COMPORTAMENT PROSOCIAL-COMPORTAMENT ANTISOCIAL (psihologie)
  Starea civila (geografie)
 


Ultimele referate cautate in site
   domnisoara hus
   legume
    istoria unui galban
   metanol
   recapitulare
   profitul
   caract
   comentariu liric
   radiolocatia
   praslea cel voinic si merele da aur
 
 
despre:
 
Interpretarea geometrica a numerelor complexe
Vizite: ? Nota: ? Ce reprezinta? Intrebari si raspunsuri
 

1. Introducere

Descoperirea interpretarii geometrice a numerelor complexe este in principal legata de numele a trei matematicieni. x2y10yt
Inginerul geometru K. Wessel (1745-1818) publica pentru prima oara o astfel de interpretare in 1799 la Copenhaga; lucrarea a ramas insa necunoscuta fiind redescoperita abia peste un veac.
Geometrul francez J. R. Argand (1768-1822) publica in 1806: « Essai sur une maniére de représenter les quantité imaginaire… » unde aceasta interpretare este intens folosita ducand si la una din primele demonstratii ale teoremei fundamentale ale algebrei (orice polinom cu coeficienti complecsi admite cel putin o radacina complexa). Si aceasta lucrare a ramas o vreme fara ecou in lumea matematica.
Marele si multilateralul matematician german K. F. Gauss conturase in teza sa din 1799 interpretarea geometrica in discutie dar a publicat abia in 1828 o teorie completa a numerelor complexe in care foloseste diagrama 1 (citata uneori sub denumirea de interpretarea lui Gauss.
Dupa redescoperirea lucrarii lui J. R. Argand , in lumea matematica mondiala devine preponderenta denumirea de diagrama Argand.

Dupa cat se stie, in literatura matematica romana nu au fost precizate astfel de denumiri. De o larga circulatie la noi in tara se bucura termenul propus in 1821 la Rauch: afix al lui M pentru numarul complex

2. Numere complexe

Numerele complexe reprezinta cea mai generala modalitate de a scrie un numar . Asadar, multimea numerelor complexe notata cu ?, este data de ?=A | a,b? ?S. Numarul a se numeste parte reala a numarului complex z (notata unori a = Re(z)), iar bi se numeste partea imaginara a numarului complex z. Numarul b se numeste coeficientul partii imaginare, notat b = Im(z). Daca b = 0 atunci z = a ? ?. Numarul complex z = bi, b ? 0 (care are partea reala 0 ) se numeste numar complex pur imaginar.

3. Interpretarea geometrica a numerelor complexe

Intre numerele reale si punctele unei drepte pe care am fixat o origine O , o unitate de masura si un sens pozitiv de parcurs, exista o corespondenta “one to one” (unu la unu), adica fiecarui numar real a ii corespunde un unic punct A de pe axa avand abscisa a si reciproc.

Numarul complex z = x + yi este bine determinat de 2 numere reale x, y care pot fi gandite drept coordonatele unui punct M din planul P in care am fixat un sistem de coordonate ortogonale xOy (corespondenta de tip “one to one”).

M se numeste imaginea geometrica a numarului complex z. Numarul complex z se numeste afixul punctului M.
Prin aceeasi aplicatie multimii numerelor reale ii corespunde axa Ox, iar multimii numerelor complexe pur imaginare ii corespunde axa Oy. Din aceste motive axa Ox se numeste axa reala, iar axa Oy se numeste axa imaginara. Planul ale carui puncte se identifica cu numerele complexe prin corespondenta de mai sus se numeste planul complex.
Daca M? este proiectia lui M pe axa Ox atunci din triunghiul dreptunghic OM?M avem: OM2=OM? 2+ M?M2 =x2+ y2 .
Deci OM= = | z |.
Astfel modulul numarului complex z este lungimea segmentului OM, M fiind imaginea geometrica a lui z. Adica modulul lui z este modulul vectorului de pozitie a imaginii geometrice a lui z.

3.1 Interpretarea geometrica a adunarii a doua numere complexe:

Fie , si . Consideram vectorii de pozitie , corespunxatori numerelor si respectiv . Stim ca vectorul sumei este vectorul , unde S este al patrulea varf al paralelogramului avand celelalte varfuri , , .

Deci sumei ii corespunde punctul S din plan astfel ca sa fie paralelogram.
In triunghiu l inegalitatea triunghiului ne da , adica , cunoscuta inegalitate a lui Minkovski dedusa pe cale geometrica.

3.2 Interpretarea geometrica a numerelor complexe conjugate:

Daca z=x + yi, atunci imaginea geometrica a lui z iar imaginea geometrica a lui . Punctul , se constata usor ca este simetricul lui M in raport cu Ox.Asadar imaginea geometrica a complexului conjugat al unui numar complex este simetricul imaginii numarului in raport cu Ox.

3.3 Interpretarea geometrica a opusului unui numar complex:

Fie z=x+yi si opusul sau z =x -; yi. Atunci imginea geometrica a lui z este punctul M(x,y), iar imaginea geometrica a lui (-z) este punctul M?(x,-y), care este simetricul lui M in raport cu originea O a coordonatelor.

3.4 Interpretarea geometrica a scaderii a doua numere complexe:

Fie si doua numere complexe avand imaginile geometrice punctele , . Imaginea geometrica a scaderii poate fi gandita si ca .Imaginea geometrica a lui (- ) este simetricul lui in raport cu O.Il notam O ? . Construim paralelogramul de laturi O , O ? . Fie D al patrulea varf al acestui paralelogram. Acest punct reprezinta imaginea geometrica a diferentei . Unind cu , patrulaterul OD este paralelogram (avand doua laturi opuse(O , O ) paralele si congruente). Deci OD = . Cum OD =| | am gasit cum se exprima lungimea unui segment determinat de imaginile a doua numere complexe.

Asadar daca si sunt doua puncte in plan, atunci lungimea segmentului este data de relatia =| |

3.5 Interpretarea geometrica a produsului dintre un numar real si un numar complex:

Fie ? ? ? si z=x+yi avand imaginea geometrica M(z). Atunci ? si ? ,ceea ce arata ca ?z este afixul punctului M? pentru care ? .

4. Aplicatii ale numerelor complexe in geometrie:

4.1 Calculul distantei:
Fie a,b ? ? afixele punctelor A, B.Atunci distanta

4.2 Afixul puctului care imparte un segment intr-un raport dat:
Fie in planul complex numerele , . Sa se determine punctul M(z) pentru care =k >0
Fie , , z =x+yi. Consideram proiectiile ?,M?, ? pe Ox ale punctelor , M si respectiv . Au loc relatiile sau
= k ( =\ Oy). De aici . Analog gasim . Acum z = x + yi = + i= = .
Deci , afixul z al punctului M care imparte segmentul a i, , in raportul = k > 0 este: . In particular daca M este mijlocul segmentului a i, atunci afixul lui este: (aici k=1).
Afixul centrului de greutate a triunghiului ABC este dat de relatia , unde sunt afixele varfurilor A, B, C.

4.3.Proprietatile unui paralelogram:
Diagonalele se injumatatesc:

4.4. Conditia de coliniaritate:
Fie A(a), B(b),C(c) trei puncte in plan.Conditia ca punctele A,B,C sa fie coliniare se traduce in limbajul vectorilor prin coliniaritatea vectorilor .Vectorii sunt coliniari ?* astfel incat ? ?*
In concluzie: A(a), B(b),C(c) sunt coliniare ?*

4.4.Conditia de paralelism a doua drepte:
Considram dreptele AB, CD.Conditia de paralelism a acestor drepte se exprima echivalent prin coliniaritatea vectorilor , .Vectorii sunt coliniari ?* astfel incat = ?*
.Daca A(a), B(b),C(c), D(d)sunt puncte in plan, atunci || ?*

4.5. Calculul masurii unui unghi:
1) Fie A(a), B(b),C(c), trei puncte distincte. Atunci m(BAC)= .
2) Daca A(a), B(b),C(c), D(d) patru puncte distincte in plan atunci: m(AC,BD)= .

4.6.Conditia de perpendicularitate a doua drepte:
Dreptele AB, CD sunt perpendiculare , sunt perpendiculari ( ( ), ( )). Se considera reprezentanti ai vectorilor liberi , vectori legati de o, ,si respectiv .
Atunci ? A S ?*,deoarece numerele pur imaginare au argumentul egal cu sau

4.7. Conditia de conciclicitate a patru puncte:
A spune ca A(a), B(b),C(c), D(d) sunt conciclice este echivalent cu cerinta ca patrulaterul ABCD este inscriptibil, adica . Ultima cerinta se traduce prin ?.

4.8.Triunghiuri asemenea:
Doua triunghiuri si spunem ca sunt asemenea in aceasta ordine daca: si
Aceste 2 relatii, in complex, se exprima printr-o singura conditie .

Alte aplicatii

1. Inegalitatea lui Euler:
Fie z, a, b, c ? ?. Atunci are loc: a) b)
Demonstratie: a)

b) din a) trecem la modul:

Interpretare geometrica: fie M(z), A(a), B(b), C(c) atunci: , o relatie din care rezulta inegalitatea lui Ptolemeu si teorema lui Pompeiu.
Inegalitatea lui Ptolemeu:

Teorema lui Pompeiu: Se considera un triunghi echilateral ABC si fie M un punct oarecare in plan ce nu apartine cercului circumscris triunghiului. Atunci distantele MA, MB, MC reprezinta lungimea laturilor unui triunghi. Fie A(x), B(y), C(z) P intr-un sistem cartezian ales convenabil astfel ca M(O)-originea. Se observa ca: aMA=bMB=cMC etc inseamna ceea ce este evident, deoarece . Avem egalitate daca si numai daca exista r 0 ca y(x-z)=rz(y-x) adica ceea ce inseamna ca M apartine cercului circumscris triunghiului ABC si BC separa A si M etc.


2. Fie afixele varfurilor unui ?ABC. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente: a) ABC este echilateral ; b) ; c) ; d) ; e) , unde ; f) , unde .

a) b) si din a) c). Fie ABC un triunghi echilateral. Varfurile au proprietatea : ;
;
;
. c) a)


c)

b)

f) radacina patrata a unitatii ;

(f c)

3. Dreapta lui Euler
; ; coliniare =

4. Cercul lui Euler
;
(1) (2)
Din (1) si (2) paralelogram au acelasi mijloc centrul cercului lui Euler diametru in cercul lui Euler(q.e.d)

5. Napoleon Bonaparte a fost initial conducator de artilerie. In scolile militare de artilerie chiar, chiar si in acele timpuri, se predau cunostinte de matematica solode, care cuprindeauo arie larga din domeniul matematicii. Napoleon era pasionat de geometrie, care se dovedise un instrument foarte util in problemele de balistica,domeniu in care el excela si un teorie cat si in practica.
Inconjurat de o perioada a de renumiti savanti ai epocii printre care sa nu-l uitam pe Pierre Simon de Laplace unul dintre cei care au pus bazele teoriei probabilitatii si statisticii matematice. Numele lui Napoleon a ramas astfel atasat in geometria triunghiului de teorema lui Toricelli.
Daca notam cu centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor echilaterale atunci triunghiul poarta numele de triunghiul exterior al lui
Napoleon.

Construim triunghiul echilateral in interiorul triunghiului ABC aunci centrele corespunzatoare formeaza un triunghi echilateral numit triunghiul interior al lui Napoleon.

Se calculeaza latura din si raze vectoare ale cercurilor circumscrise triunchiului echilateral ;
Din T lui Pitagora Pentru triunghiul interior
Consecinta:

6. Dreapta care uneste mijloacele diagonalelor unui patrulater circumscris unui cerc trece prin centrul cercului (dreapta lui Newton).
Alegem originea axelor in centrul cercului O de raza egala cu 1. Fie a, b, c, d afixele varfurilor A, B, C, D ale patrulaterului si afixele punctelor de tangenta E, F, G, H ale patrulaterului cu cercul, E?AB, F?BC, G?CD, H?DA.
Atunci . Fie K mijlocul segmentului EH care se afla pe dreapta OA care este bisectoarea triunghiului isoscel EAH, cum bisectoarea este si inaltime intr-un triunghi isoscel, rezulta EK?OA.
In triunghiul dreptunghic OEA aplicand teorema catetei obtinem: sau in complex , de unde rezulta .
Analog se obtine , , .
Fie M si N mijloacele diagonalelor AC si BD, fie m, n afixele lui M si N; atunci

Pentru ca punctele M, O, N sa fie coliniare trebuie ca intre afixele lor sa existe relatia: m 1
0 0 1 =0, sau, dezvoltand, rezulta n 1

Tinand seama de aceste relatii trebuie sa aratam ca: aceasta relatie se verifica daca inlocuim , aducand fractiile la acelasi numitor se obtine relatia precedenta.

7. Pentru (0,8) se considera multimea S. Daca astfel ca , sa se afle z astfel ca expresia : sa fie maxima, pentru .
Daca si atunci sunt afixele varfurilor unui triunghi echilateral (deoarece centrul cercului circumscris ar coincide cu centrul de greutate).Deci si fie M(z),cu M situate pe cercul circumscris ?ABC. Conform teoremei lui Ptolomeu, daca de exemplu M se afla pe arcul mic AB, atunci MC=MA+MB si atunci E(z)=MA+MB+MC=2MC=2CC'=4a, unde C'este punctul diametral opus cu C.
Egalitatea are loc daca M, O, C sunt coliniare sau sau . In concluzie, pentru expresia E(z) este maxima.

8. Pe laturile unui triunghi ABC se construiesc in afara acestuia, triunghiurile echilaterale BA'C, CB'A, AC'B. Sa se arate ca: a) Centrele de greutate ale acestor formeaza un triunghi echilateral avand acelasi centru de greutate cu triunghiul ABC(fie acesta MNP); b) Dreptele AA',BB',CC'sunt concurente intersectandu-se doua cate doua sub unghiuri de masura 60° si

Observatie: Triunghiul MNP se numeste triunghiul exterior al lui Napoleon. Daca triunghiurile echilaterale sunt construite spre interiorul triunghiului ABC, triunghiul MNP se numeste triunghiul interior a lui Napoleon.

Fie A(a), B(b), C(c) ? P. Din datele problemei rezulta ca verifica , , , unde Deci , , . Notam M(m), N(n), P(p)-centrele de greutate ale triunghiurilor echilaterale BA'C, CB'A, respectiv AC'B.
Rezulta: . Daca G'(g') centrul de greutate al triunghiului MNP, avem 3g'=m+n+p adica: Insa . Deci 9g'=3(a+b+c)=9g de unde , unde G(g) centrul de greutate al triunghiului ABC. Se observa ca: , de unde rezulta n-p=(m-p)? ceea ce inseamna ca triunghiul MNP este echilateral.
Dar:
Cum: ) rezulta ca: si , adica AA', BB', CC' se taie doua cate doua sub acelasi unghi de .

9. Fie trei cercuri de aceeasi raza R, concurente in P care se intalnesc a doua oara, doua cate doua in punctele A,B,C ( Sa se arate ca cercul circumscris triunghiului ABC are aceeasi raza R si sa se precizeze centrul acestuia (problema Titeica).

are razaR

Poblema cu o comoara
Sau
“Din miracolele lui si teoremele cosinusului”

Aceasta problema se gaseste in cartea lui George Gamow: “Unu, doi, trei… infinit”, iar rezolvarea ei ne dezvaluie unele virtuti ale numarului imaginar .
Se zice ca a existat odata un tanar indraznet care a descoperit printre hartiile strabunicului sau o bucata de pergament ce dezvaluia pozitia unei comori ascunse. Indicatiile continute in acest document erau urmatoarele: ”Navigheaza spre… latitudine nordica si... longitudine vestica unde vei gasi o insula parasita(in document erau indicate longitudinea si latitudinea exacte;sunt omise intentionat, pentru a pastra secretul). Acolo vei afla o campie larga pe malul nordic al insulei inde se inalta un singur stejar si un singur pin (cu eceeasi intentie a fost schimbate si numele copacilor. Pe o insula topicala exista desigur alta varietati de copaci). Vei vedea de asemenea o veche spanzuratoare de care erau spanzurati alta data tradatorii.Porneste de la spanzuratoare si mergi spre stejar numarandu-ti pasii.In dreptul stejarului trebuie sa te intorci la dreapta cu si sa parcurgi acelasi numar de pasi. Infige un tarus in acel loc. Acum trebuie sa te intorci la spanzuratoare si sa mergi spre pin numarandu-ti pasii. In dreptul pinului trebuie sa te intorci la stanga cu si sa parcurgi acelasi numar de pasi si sa infigi in acel loc un tarus: acolo vei fasi comoara.”
Instuctiunile erau destul de clare si explicite astfel ca tanarul nostru erou s-a imbarcat pe un vapor si a pornit catre marile sudului. El descoperi insula, campia, stejarul si pinul, dar spre marea lui durere, spanzuratoarea disparuse. Prea mult timp trecuse de la redactarea documentului si ploaia, soarele si vantul distrusesera lemnul, fara a lasa macar o urma a locului unde se inaltase pe vremuri spanzuratoarea.
Disperat, tanarul incepu sa sape la intamplare in lungul si latul insulei. Dar toate eforturile sale au fost zadarnice, caci insula era prea mare. Neavand incotro s-a intors acasa cu mainile goale, iar comoara a ramas probabil pana in zilele noastre ingropata in ascunzisurile ei.
Este desigur o poveste trista cu atat mai mult cu cat tanarul ar fi putut sa gaseasca comoara mult dorita daca ar fi stiut putina matematica si, mai ales, intebuintarea numerelor imaginare. Sa incercam sa vedem daca putem descoperi noi comoara pentu el, desi este prea tarziu ca sa-i mai fim de folos.

Rezolvare 1:
Sa construim insula ca o suprafata plana compusa dintr-un numar infinit de numere complexe. Trasam o axa(axa reala) care trece prin baza celor doi copaci si o alta axa(axa imaginara) perpendiculara pe prima intr-un punct asezat la jumatatea distantei dintre copaci(fig.1). Luand ca unitate de lungime jumatate din distanta dintre copaci, putem spune ca stejarul este plasat in punctul +1 de pe axa reala, iar pinul in punctul -1. Nu cunoastem locul in care se afla spanzuratoarea si de aceea vom nota pozitia ei ipotetica prin litera greceasca (gama mare), care seamana de altfel cu o spanzuratoare. Cum spanzuratoarea nu este asezata neaparat pe una din cele 2 axe, trebuie sa consideram ca fiind un numar complex unde semnificatia lui a si b poate fi dedusa din fig 1.

Sa fac acum cateva calcule simple tinand cont de regulile inmultirii imaginare… Daca spanzuratoarea se gaseste in punctul notat prin punctul -1, distanta si directia dintre ele poate fi notata prin (-1)- . In mod asemanator distanta dintre spanzuratoare si stejar este de . Pentru a roti aceste doua lungimi in sensul acelor de ceasornic, trebuie conform regulilor de mai sus, sa le inmultim cu -;i, si cu i, adunand astfel locurile in care trebuie sa infigem cei doi tarusi, dupa cum urmeaza:

Primul tarus:
Al doilea tarus:

Cum comoara se gaseste la jumatatea distantei dintre tarusi , trebuie sa stabilim acum jumatatea sumei numerelor complexe de mai sus. Obtinem astfel:

Observam ca pozitia ipotetica a spanzuratorii, notata prin , a fost eliminata in cursul calculelor noastre si ca indiferent de pozitia spanzuratorii, comoara trebuie sa se gasesca in punctul +i.
Iata deci ca daca ar fi putut face acest simplu calcul matematic, eroul nostru nu ar fi avut nevoie sa sape insula in lung si lat, ci ar fi cautat-o in punctul indicat printr-o cruce in fig 1 si ar fi putut-o gasi acolo.

Rezolvare 2:
Stejarul, pinul si spanzuratoarea dispar, transformandu-se in puncte. Intrucat nu stim unde se afla, punctul-spanzuratoare il vom nota cu M (invariabilul punct variabil din geometrie). Punctul-stejar il notam cu S punctul pin cu P. Deci geometric problema va suna astfel:
“Fie segmentul fix si un punct variabil intr-un plan continand segmentul.Se duce astfel incat Si analog BP fata de .Sa se arate ca ca mijlocul segmentului este un punct fix si sa i se precizeze pozitia fata de “. Problema se poate rezolva exclusiv geometric prin teorema generalizata a lui pitagora, care este mult mai comoda decat o folosim in forma trigonometrica, adica sub forma de teorema cosinusurilor. In fig 2 care concentreaza datele de mai sus, mai fie N mijlocul lui AB. Se calculeaza PN ca mediana in triunghiul ABP. Vom avea deci:

(1) , relatie in care se tine seama de foarte multe elemente: ; ;AP se calculeaza din pri teorema cosinusurilor, idem AB din ,calcule in care vom tine seama de de SI .
Din prin teorema cosinusurilor si tinand seama de datele de mai sus la care se adauga , rezultand
(2) unde se tine seama si de teorema sinusurilor in . Analog din cu
(3)

Tinand cont de (2)si (3) ca si de BP=MP , relatia(1) devine:
(4)
Cum aceasi valoare se obtine, analog, pentru, pentru SN rezulta ca N, P, S sunt toate varfurile unui patrat… Prin urmare daca tanarul ar fi “macar” un bun geometru si ar fi rezolvat probleme cu puncte fixe , ar fi ajuns la concluzia ca ar fi putut gasi comoara indiferent daca pe insula se gaseau “0,1,2,3… spanzuratori…

Concluzie:

Necunoscand numerele complexe, s-ar putea sa pierzi o comoara!

Dupa ce am parcurs diferite probleme rezolvate cu ajutorul numerelor complexe, va propunem sa rezolvam prin mai multe procedee, apartinand, la trei domenii aparent distincte(geometria sintetica, geometria analitica, si cu ajutorul numerelor complexe) urmatoarea problema:

Fie triunghiul isoscel ABC (AB=AC), D-mijlocul laturii (BC), E (AC) astfel incat DE AC si F-mijlocul segmentului (DE). Sa se arate ca BE?AF.

Demonstratie:

Metoda 1 (geometria sintetica):

Fie H AC astfel incat AC HB (DE?BH). Deoarece (ADE) (BHC) rezulta ca mediana AF din triunghiul ADE este omoloaga cu mediana BE din triunghiul (BHC).
Deci ceea ce inseamna ca patrulaterul (XABD)este inscriptibil, unde X este intersectia dreptelor BE si AF. In particular, . Deci AF?BE.

Metoda 2 (geometria analitica):

Alegem convenabil sistemul xOy de coordonate mentionate in figura1. Se impune sa determinam pozitiile (coordonatele) punctelor E si F. Ecuatia dreptei AC este iar a dreptei DE este . Intersectia acestor doua drepte conduce la . Mijlocul segmentului (DE) este . Panta dreptei BE este: . Iar panta dreptei AF este: .

Se observa ca , ceea ce inseamna BE?AF.

Metoda 3 (cu ajutorul numerelor complexe):

In acelasi sistem de coordonate, avem A(ai), B(b), C(-b). Fie E(x), punctul E este caracterizat de faptul ca E?AC si ED?AC adica si exista ??R ca adica si , unde ??R. Introducand valoarea lui x in prima relatie, se obtine: , adica de unde rezulta . Deci , iar . Deci AF?BE daca si numai daca , adica etse pur imaginar .

Bibliografie:

1) Virgil Nicula, Numere complexe, editura Scorpion, 1993

2) Virgiliu Schneider, Liliana Niculescu si altii, Teme pregatitoare pentru olimpiada, editura Valeriu 2002

3) Teoreme si probleme de geometrie elementara, tipografia Universitatii, Bucuresti, 1986

4) Gazeta matematica, Bucuresti 1986

5) Viorel Gh. Voda, Triunghiul -;ringul cu trei colturi, editura Albatros, Bucuresti, 1979

6) Dan Branzei, Sebastian Anita, Constantin Cocea, Planul si spatial Euclidian, editura Academiei Republicii Socialiste Romania, Bucuresti 1986

7) Mircea Ganga, Manual clasa a X-a, Editura Mathpress, 2005

 
 
Comentarii:

Nu ai gasit ce cautai? Crezi ca ceva ne lipseste? Lasa-ti comentariul si incercam sa te ajutam.
Esti satisfacut de calitarea acestui referat, eseu, cometariu? Apreciem aprecierile voastre.

Nume (obligatoriu):

Email (obligatoriu, nu va fi publicat):

Site URL (optional):


Comentariile tale: (NO HTML)


 
Noteaza referatul:
In prezent referatul este notat cu: ? (media unui numar de ? de note primite).

2345678910

 
Copyright 2005 - 2014| Trimite referat | Harta site | Adauga in favorite