1.Definitia logaritmului unui numar pozitiv i4f16fs
Fie a>0 un numar real pozitiv,a .Consideram ecuatia exponentiala ax=N,N>0 (1)
Ecuatia (1) are o solutie care este unic determinata.Aceasta solutie se noteaza
X=logaN (2) si se numeste logaritmul numarului pozitiv baza a.
Din (1) si (2) obtinem egalitatea alogaN=N (3) care ne arata ca logaritmul unui numar real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicata baza a (a>0,a )pentru a obtine numarul dat
Daca in (1) facem x=1,obtinem a1=a si deci logaa=1 (4)
Exemple
1) Sa se calculeze log232.
Cum 25=32,atunci din definitia logaritmului avem log232=5.
2) Sa se determine log2 .
Din egalitatea 2-4= ,obtinem log2 =-4.
3)Sa sa determine log1/327.
Sa consideram ecuatia exponentiala x=27.Cum -3= -3=27,obtinem x=-3 si deci log1/327=-3.
4)Sa se determine log4256.
Cum 44=256,atunci din definitia logaritmului obtinem log4256=4.

Observatii

1.In practica se folosesc logaritmii in baza zece care se mai numesc si logaritmi zecimali.Acestia se noteaza cu lg in loc de log10;de aceea nu mai este nevoie sa se specifice baza.Astfel,vom scrie lg106 in loc de log10106 si lg5 in loc de log105 etc.
2.In matematica superioara apar foarte des logaritmi care au ca baza numarul irational,notat cu e,e=2,718281828… .Folosirea acestor logaritmi permite simpli ficarea multor formule matematice.Logaritmii in baza e apar in rezolvarea unor probleme de fizica si intra in mod natural in descrierea matematica a unor pro cese chimice,biologice.De aceea acesti logaritmi se numesc naturali.Logaritmul natural al numarului a se noteaza lna.
2.Functia logaritmica

Fie a>0,a un numar real.La punctul 1 am definit notiunea de logaritm in baza a; fiecarui numar pozitiv N i s-a asociat un numar real bine determinat.Acest lucru ne permite sa definim o functie f:(0,+ ) ,f(x)=logax numita functie logaritmica.

Proprietatile functiei logaritmice:

1.f(1)=0.
Cum a0=1 rezulta ca loga1=0 si deci f(1)=0.
2.Functia logaritmica este monotona.Daca a>1,atunci functia logaritmica este strict crescatoare,iar daca 0<a<1,functia logaritmica este strict descrescatoare.
Sa consideram cazul a>1 si fie x1,x2 (0,+ ) astfel incat x1<x2.Cum x1=alogax1 si
X2=alogax2,rezulta ca alogax1<alogax2.
Dar functia exponentiala fiind crescatoare obtinem ca logax1<logax2,adica f(x1)<f(x2).
In cazul 0<a<1,din inegalitatea alogax1<alogax2 si din faptul ca functia exponentiala cu baza un numar real 0<a<1 este strict descrescatoare,rezulta ca logax1>logax2,adica f(x1)>f(x2).
3.Functia logaritmica este bijectiva
Daca x1,x2 (0,+ ) astfel incat f(x1)=f(x2),atunci din logax1=logax2.Dar din egalitatea (3) de la punctul 1 obtinem x1=alogax1 si x2=alogax2,adica x1=x2.Deci f este o functie in jectiva.
Fie y un numar real oarecare.Notam cu x=ay.Se vede ca x si logax=logaay=y
Deci f(x)=y,ceea ce ne arata ca f este si surjectiva.Asadar,f este bijectiva.
4.Inversa functiei logaritmice este functia exponentiala
Functia logaritmica f:( ,f(x)=logax,fiind bijectiva,este inversabila.Inversa ei este functia exponentiala g ,g(x)=ax.
Intr-adevar,daca x avem (g f)(x)=g(f(x))=g(logax)=alogax=x si daca y ,atunci atunci (f y)=logaay=y.

3)Proprietatile logaritmilor
Folosind proprietatile puterilor cu exponenti reali obtinem urmatoarele proprietati pentru logaritmi: a.Daca A si B sunt doua numere pozitive,atunci loga(AB)=logaA+logaB

(logaritmul produsului a doua numere este egal cu suma logaritmilor celor doua numere).
Intr-adevar,daca logaA=x si logaB=y,atunci ax=A si ay=B.Cum ax+y=ax ay,obtinem
Ax+y =A*B si deci loga(AB)=x+y=logaA+logaB.
Observatie.
Proprietatea se poate da pentru n numere pozitive A1,A2,...,An adica
Loga(A1A2…An)=logaA1+logaA1+logaA2+…+logaAn. b.Daca A si B sunt doua numere pozitive,atunci loga aA-logaB
(logaritmul catului a doua numere este egal cu diferenta dintre logaritmul numara torului si cel al numitorului).
Intr-adevar,tinand cont de proprietatea a.,avem logaA=loga =loga +logaB, de unde rezulta ca loga =logaA-logaB.
Observatie.
Daca punem A=1 si tinem cont ca loga1=0,obtinem egalitatea: loga =-logaB c.Daca A este un numar pozitiv si m un numar real arbitrar,atunci logaAm=mlogaA
(logaritmul puterii unui numar este egal cu produsul dintre exponentul puterii si loga ritmul numarului).
Intr-adevar,daca logaA=x,atunci ax=A.Dar atunci Am=(ax)m=amx si deci logaAm=mx=
=mlogaA. d.Daca A este un numar pozitiv si n un numar natural(n 2),atunci loga =logaA/n
(logaritmul puterii unui numar este egal cu produsul dintre exponentul puterii si logaritmul numarului).
Intr-adevar, proprieatea d este un caz particular al proprietatii c,punand m= .

Exemple
1)Sa se calculeze log375.
Log375=Log3(3*25)=Log33+Log325=1+Log352=1+2Log35.
2)Sa se determine log21000-log2125
Avem log2100-log2125=log2 =log28=log223=3.
3)Sa se calculeze lg0,18-lg180.
Avem lg0,18-lg180=lg =lg =lg10-3=-3.
4)Sa se calculeze log6 +log6 .
Avem log6 +log6 =-log618-log612=-(log618+log612)=-log6(18*12)=-log663=-3.
5)Sa se calculeze log2 .Avem log2 = log281= log234= log23.
6)Sa se calculeze log2 .Avem log2 = log28= log223= log22= .

4.Schimbarea bazei logaritmului aceluiasi numar
Daca a si b sunt doua numere pozitive diferite de 1,iar A un numar pozitiv oarecare,are loc egalitatea:
LogaA=LogbA*Logab
Intr-adevar,daca LogaA=x si LogbA=y,atunci avem ax=A si by=A,de unde obtinem ax=by.Dar atunci Logaax=Logaby sau xLogaa=yLogab.
Cum Logaa=1,avem x=yLogab,adica LogaA=LogbA*Logab.
Observatie.
Daca in egalitatea de mai sus A=a,obtinem Logaa=Logba*Logab.Cum Logaa=1,rezulta ca:
Logab=

Exemple
1)Sa se scrie log2x in functie de log4x.
Avem log2x=log4x*log24=2log4x.
2)Sa se arate ca log26+log62>2.
Avem log26+log62=log26+ .
Deci trebuie sa aratam ca log26+ >2 sau (log26)2-2log26+1>0,sau inca (log26-1)2>0 inegalitate evidenta deoarece log26 1.

5)Operatia de logaritmare a unei expresii

Sa consideram expresia:
E=

Vom logaritma expresia intr-o anumita baza convenabila a.Folosind proprietatile logaritmilor,obtinem: logaE =loga( -loga =loga173+loga +loga - =
=3loga17+ loga131+ loga92- loga37- loga98- loga23.
Deci am obtinut egalitatea:
LogaE=3loga17+ loga131+ loga92- loga37- loga98- loga23.
In general,daca E este o expresie algebrica in care apar produse de puteri si radicali, putem sa-I asociem,exact ca in exemplu de mai sus,o expresie,notata log E,in care apar sume (diferente) de logaritmi inmultite eventual cu anumite numere rationale.Operatia prin care expresiei E i se asociaza expresia log E se numeste”operatie de logaritmare”.

Exemple

1) Fie E=a2 .Prin operatia de logaritmare,obtinem: loccE=logc(a2 )=logca2+logc =2logca+ logca+ logcb.
2)Fie E= .Prin operatia de logaritmare,obtinem: logcE =logc = logc = (logca3-logcb5)= logca- logcb.

Adesea in calcule este nevoie sa se faca si operatia inversa,adica unei expresii in care intervin logaritmi sa-i asociem o expresie fara logaritmi.
De exemplu,sa consideram expresia logcE=2logca- logcb-3logc3.
Folosind proprietatiile logaritmilor,avem:
LogcE=logca2-logc -logc33=logc =logc ,de unde obtinem ca
E= .

Ecuatii si inecuatii logaritmice

1)Ecuatiile logaritmice sunt ecuatii in care expresiile ce contin necunoscute apar ca baza sau ca argument al unor logaritmi.
De exemplu:logx+1(x+2)=1;lg(x2+x-2)=3;logx(5x2+3)=lg(2x+3)-1.
Folosind injectivitatea functiei exponentiale,avem ca rezolvarea unei ecuatii de tipul logg(x)f(x)=b este echivalenta cu rezolvarea ecuatiei f(x)=g(x)b.Vom avea insa grija ca solutiile obtinute sa satisfaca f(x)>0,g(x)>0,g(x) pentru care expresia logg(x)f(x) are sens.
La fel ca la ecuatiile exponentiale,in practica atunci cand avem de rezolvat o ecuatie logaritmica,vom proceda astfel:folosind diverse substitutii precum si proprietatile logaritmice,vom cauta s-o reducem la rezolvarea unor ecuatii simple,de regula de gradul intai sau de gradul al doilea.

Exemplu

Sa se rezolve ecuatia:logx(x2-3x+9)=2.
Obtinem x2-3x+9=x2 si deci 3x=9,x=3.Deoarece pentru x=3>0,expresia x2-3x+9 este pozitiva,rezulta ca x=3 este solutie a ecuatiei.

Rezolvarea altor ecuatii se bazeaza pe injectivitatea functiei logaritmice,si anume din logaf(x)=logag(x),deducem f(x)=g(x),impunand conditiile:f(x)>0,g(x)>0

Exemple

1) Sa se rezolve ecuatia:lg(x2-15)=lg(x-3).Deducem ca x2-15x=x-3,deci x2-x-12=0 adica x1=4,x2=-3.Deoarece pentru x2=-3 obtinem x-3=-3-3=-6<0,rezulta ca x2=-3 nu este solutie a ecuatiei.Deci numai 4 este solutie.

2)Sa se resolve ecuatia:2lg(x-1)= lgx5-lg .In aceasta ecuatie punem de la inceput conditiile x-1>0,x>0,pentru a avea sens expresiile lg(x-1),lg x5, lg .
Ecutia se mai scrie 2lg(x-1)= lgx- lgx si deci 2lg(x-1)=2lgx.Prin urmare,lg(x-1)=lgx,de unde obtinem x-1=x,-1=0,contradictie;rezulta deci ca ecuatia data nu are solutii.
3) Sa se rezolve ecuatia:lg(x+7)+lg(3x+1)=2.Punem conditiile de existenta a logaritmilor:x+7>0,3x+1>0,deci x>- .Obtinem lg(x+7)(3x+1)=2 si deci (x+7)(3x+1)=102=100.Rezulta ecuatia de gradul al doilea 3x2+22x-93=0,de unde rezulta x1=3,x2=- .Deoarece - <- ,obtinem ca 3 este singura solutie a ecuatiei date.

Observatie

Ecuatia precedenta nu este echivalenta cu ecuatia lg(x+7)(3x+1)=2,care are doua solutii x1=3,x2=- ,deoarece pentru amandoua aceste valori ale lui x,lg(x+7)(3x+1) are sens.

4) Sa se rezolve ecuatia:log23x-3log3x-4=0.Avem conditia x>0 si facand substitutia log3x=y,obtinem y2-3y-4=0.Deci y1=4,y2=-1.Din log3x=4.obtinem x=34,x=81,iar din log3x=-1,obtinem x=3-1,x= .
In continuare vom rezolva cateva ecuatii care nu se pot incadra intr-un anumit tip.Astfel,pot aparea ecuatii cu logaritmi scrisi in diferite baze,ecuatii in care apar expresii continand necunoscute si la exponenti si la logaritmi etc.
5)Sa se rezolve ecuatia:log2x+log3x=1.Deducem,aplicand formula de schimbare a bazei, sau lgx= Deci x=10 .
6)Sa se rezolve ecuatia:log3x+logx3=2.Deoarece logx3= ,rezulta log3x+ =2.Notand log3x=y,obtinem y+ ,adica y2-2y+1=0;deci y=1,adica log3x=1.Prin urmare,x=3.
7)Sa se rezolve ecuatia:xlgx+2=1000.Punem conditia de existenta a expresiilor:x>0.Logaritmand,obtinem o ecuatie echivalenta lg(xlgx+2)=lg1000 care devine (lgx+2)lgx=3.Notand lgx=y,avem y2+2y-3=0 si deci y1=-3,y2=1.Din lgx=-3, obtinem x=10-3,x=0,001,iar din lgx=1,rezulta x=10.

2)Sisteme de ecuatii logaritmice

In astfel de sisteme se aplica metodele aratate anterior la ecuatiile de tipul respectiv.

Exemplu

Sa se rezolve sistemul x2+y2=425 lgx +lgy=2

Obtinem,pe rand sistemele x2+y2=425 x2+y2=425 lgxy =2 xy=1000 x,y>0 x,y>0

Acest sistem simetric il putem rezolva pe caile cunoscute din clasa a IX-a:punem s=x+y,p=xy si vom avea s2-2p=425 s2=625 s= 25
P=100 p=100 p=100
Sistemul s=25
P=100 da solutiile (5,20),(20,5) care satisfac si conditiile de existenta ale sistemului initial,x>,y>0.Sistemul s=-25
P=100 da solutiile (-20,-5),(-5,-20),care nu convin.

3)Inecuatii logaritmice

Rezolvarea inecuatiilor logaritmice se bazeaza pe proprietatile de monotonie ale functiei logaritmice.Am vazut ca functia logaritmica este crescatoare daca baza este supraunitara si descrescatoare daca baza este subunitara.

Exemple

1)Sa se rezolve inecuatia:log (2x-1)>-3.Avem ca -3=log 27 si inecuatia devine log (2x-1)>log 27.Deoarece baza a logaritmului este subunitara (functia g:(0, este descrescatoare),inecuatia devine 2x-1<27,adica x<14.In acelasi timp,din conditia de existenta a logaritmului initial,avem 2x-1>0,deci x> .Deci obtinem pentru x valorile posibile x .

4) Sisteme de inecuatii logaritmice

In astfel de sisteme se aplica proprietatile si metodele aratate anterior la inecuatiile
Logaritmice.Rezolvarea acestora se reduce in definitiv la rezolvarea sistemelor de ine cuatii intalnite in clasa a IX-a.

Exemplu

Sa se rezolve sistemul

2 >2x+1 log3(x2-3x+9)<3. Observam,mai intai,ca x2-3x+9>0 oricare ar fi x real(
|x-2|>3 deci logaritmul este definit pentru orice x real.

Deoarece 3=log327 si,tinand seama de monotonia functiilor exponentiala si logaritmica,rezulta sistemul echivalent

X2-2x-3>x+1 x2-3x-4>0
X2-3x+9<27 x2-3x-18<0
|x-2|>3 |x-2|>3

Multimea solutiilor inecuatiei x2-3x-4>0 este M1=( multimea solutiilor inecuatiei x2-3x-18<0 este M2=(-3,6),iar multimea solutiilor inecuatiei
|x-2|>3 este M3=( Atunci multimea solutiilor sistemului este M=M1

Aplicatii

I.Admiterea in invatamantul superior

1.Sa se calculeze expresia:
E=log225-log2
Informatica,Baia Mare,1997

E=log2 E=log235* log2 log21=0
E=0.

2.Sa se rezolve sistemul

xy=40 xlgy=4
Colegiu de Informatica,Cluj,1997

xy=40 y= xlgy=4

lgxlgy=lg4 lgy*lgx=lg4 lg *lgx=lg4
(lg40-lgx)lgx=lg4 lgx*lg40-lg2x=lg4 lg2x-lgxlg40+lg4=0
Notam lgx=y y2-ylg40+lg4=0 lg240-4lg4=(lg4+lg10)2-4lg4=lg24+2lg4+1-4lg4=lg24-2lg4+1=(lg4-1)2 y1,2=

=

3.Stiind ca log40100=a,sa se exprime log1625 in functie de a.
Chimie,Metalurgie,1981

Log4100=a =a

4.Stiind ca a=lg2 si b=lg3 sa se calculeze x=3
Matematica-Fizica,Sibiu,1998

X=3
5.Sa se arate ca expresia: E= este independenta de valorile strict mai mari ca 1 ale variabilelor x,z,y.
Inginerie,Constanta,1996

Notam x

II.Concursurile scolare

1.Gorj2001-faza locala

Sa se arate ca daca x,,y,z are loc inegalitatea:

Logxyz+logyxz+logzxy

Logxyz+logyxz+logzxy=(logxy+logyx)+(logxz+logzx)+(logyz+logzy)
Daca x,y
Logxyz+logyxz+logzxy are loc doar cand x=y=z.

2.Bacau2001-faza locala

Sa se calculeze:
=E

Notam a=log212
Log224=log212*2=log212+log22=a+1
Log962=
Log2192=log212*16=log212+log216=a+4
Log122=
(a+1)(a+3)-a(a+4)=3

3.Cluj2001-faza locala

Sa se rezolve ecuatia: unde este partea intreaga a numarului .
Cos Z
I.

II.
III.
S3=

Petrariu Alexandru clasa aX-a A
Liceul De Informatica „Spiru Haret”
Suceava

Indrumator,profesor Oanea Calin