r7h2hv

Probleme in rezolvarea carora se folosesc formulele de calcul a ariei unor suprafete plane

Cap. 1 Introducere

Cap. 2 Formule pentru calculul ariilor
Aria triunghiului
Notatii: a,b,c-lungimile laturilor; p-semiperimetrul; ha ,hb ,hc-lungimea inaltimilor din A,B,C; r-raza cercului inscris; R-raza cercului circumscris; ra ,rb ,rc-razele cercurilor exinscrise; S-aria.

1. S=a·ha/2 (definitie)
2. S=a·b·sinC
3. S=a2·sinB·sinC/2·a·sinA (si analoagele)
4. S= (Heron)
5. S=p·r
6. S=
7. S=(p-a)·ra (si analoagele)
8. S= rarbrc
9. S=p1·R (p1-este semiperimetrul triunghiului artic)
Proprietatea de aditivitate: In ?ABC daca m (AB) si K atunci K

ARIA PATRULATERULUI CONVEX
Notatii generale: a,b,c,d-lungimile laturilor; d1,d2-lungimile diagonalelor; -masura unghiului format de diagonale; h-lungimea inaltimii(unde este cazul); S-aria
Definitie SABCD=SABC+SADC=SABD=SBCD
Din definitie alicand teorema de aditivitate a ariilor shi formula 2 pentru aria triunghiului se obtine formula generala: S=d1·d2·sin /2, de unde se obtine pentru patrulaterul ortodiagonal S=d1·d2/2

ARIA PARALELOGRAMULUI
S=a·ha=b·hb ; S=a·b·sinB
ARIA DREPTUNGHIULUI
S=a·b S=d2·sin /2
ARIA ROMBULUI
S=a·h S=a2·sin u unde u=Am( ), m( )S S=d1·d2/2
ARIA TRAPEZULUI
S=(B+b)·h/2 unde B,b sunt lungimile bazelor trapezului
ARIA UNUI PATRULATER INSCRIPTIBIL
S= unde p este semiperimetrul patrulaterului

Cap.3 PROBLEME REZOLVATE
Prob.1 In DABC avem AB=20cm si lungimile medianelor AA1 respectiv BB1 sunt 24cm si 18 cm. Sa se calculeze aria DABC.
A. Blaluca-Geometrie plana

A

B C
A1
Se da: DABC
aAA1i si aBB1i mediane
AB=20cm AA1=24cm BB1=18cm AA1 BB1=AGS
Se cere: ABC=?
Rezolvare:
DABG= ·?DABA1= ·??ABC=
AG= ·AA1 AG=16cm
BG= ·BB! BG=12cm
??ABG= ??ABG= =96(cm2)
??ABC=3·96cm2=288cm2
Obs.Din Calculul masurilor laturilor ?ABG rezulta ca el este dreptunghic in G deci ??ABC=c1·c2/2=16·12/2=96cm2
GENERALIZARE: Se utilizeaza acelasi rationament daca AB=a, AA1=x, BB1=y AG=2/3·x, BG=2/3·y.

Prob.2 Se da ?ABC oarecare si fie M mijlocul laturii aBCi. Fie N simetricul punctului A fata de M, iar P si Q simetricele punctului N fata de B si respectiv BC Sa se arate ca: a)punctele A, P si Q sunt coliniare b)poligoanele ACBP, ANP, QBNC sunt echivalente c)patrulaterul NMQC are aceasi arie ca si triunghiul ABC d)aria triunghiului ANP este dublul ariei triunghiului ABC
A. Balauca-Geometrie plana

P A Q

B M D C

N

Ip. ?ABC C: A,P,Q coliniare
M mijlocul lui BC ACBP, ANP, QBNC sunt echivalente
SM(A)=N ?NMQC=?ABC
SB(N)=P ?ANP=2?ABC
SBC(N)=Q
Demonstratie:
1.AM=MN Din 1 si 2 MB linie mijlocie in ?ANP BM paralel cu AP 11
2.BP=BN Din 3 si 4 MC linie mijlocie in ?ANQ MC paralel cu AQ 21
3.AM=MN
4.SBC(N)=Q
Din 11 si 21 conform postulatului lui Euclid prin A se duce o singura paralela la BC
P,A,Q sunt coliniare b) 1.AM=MN Din 1 si 2 ANBC paralelogram
2.BM=MC
3.AC paralel cu BP Din 3 si 4 PACB paralelogram
4.PA paralel cu BC (din a)
?ACBP=BC·QD
?ANP=PA·NQ/2=2BC·2·QD/2=BC·QD=?ACBP
QN BC ?BQCN=BC·QN/2=BC·2QD/2 ?ACBP=?ANP=?BQCN c) ?NMQC=MC·NQ/2= =BC·QD/2=?ABC d)?ANP=AP·NQ/2=BC·2QD/2=2?ABC
Prob.3 Daca in triunghiul ABC, AD si AM sun bisectoare respectiv mediana sa se arate ca d(M,AC)·DC=d(M,AB)·DB unde D,M BC.
A. Balauca-geometrie plana

A

F E

C
B D M

Ip: ?ABC
AM mediana
AD bisectoarea BAC
C: d(M,AC)·DC=d(M,AB)·DB
Demonstratie:
M mijlocul lui BC ?ABM=?AMC

AD bisectoare d(M,AC)·DB=d(M,AB)·DC

Prob.4 Fie patratul ABCD si M (AB), iar E si F proiectiile varfurilor B respectiv D pe CM. Daca BE=72cm si DF=96cm calculati: a) Dan Branzei-Matemetica in concursurile scolare b) daca |AB|=120cm
M
A B

F

D C

Se da:ABCD patrat Se cere: |BM|/|MA|=?
M (AB) ?BEDF/?ABCD=?
BE MC
DF MC
DF=96
BE=72
Rezolvare:
??DCM/?MBC= =DF/BE= = =
1) =
2)?MBCD=
3)?MBC=
Din 1,2,3 c) Daca AB=120cm MB=
F.P MC2=MB2+BC2
BE inaltime in ?MBC(m ) (cm)
MB2=ME·MC 8100=ME·150
ME=8100/150=54cm
DF·MC=DC·BC
DF= =96cm
FC2=DC2-DF2 FC2=1202-962=24·146=4·6·6·36
EF=150-(72+54)=150-126=24cm
?BEDF= (cm2)

Prob.5 Utilizand figurile urmatoare dati doua demonstratii prin arii ale teoremei lui Pitagora.
G. Turcitu-Geometrie plana

D c P b C D b C

c b N c

aa

Q b E

A b M c B A c B

SOLUTIE 1
Ip ABCD patrat
AM=BN=PC=DQ=b
QM=MN=PN=QP=a
AQ=MB=CN=DP=c
C b2+c2=a2
Demonstratie:
1.AM=CP=DQ=BN=b
2.MB=NC=PD=QA=c
Din 1 si 2 pe baza cazului de congruenta cateta-cateta ?AMQ=?BNM=?CPN=?PDQ
??AMQ=??BNM=??CPN=??PDQ=
?MNPQ=a2
?ABCD=?MNPQ+4?AMQ=a2+ =a2+2bc
(b+c)2=a2+2bc b2+c2=a2
SOLUTIE 2
Ip ABCD trapez dreptunghic
AB paralel cu DC, m
E AD
DC=AE=b, DE=AB=c, CE=EB=a
C:a2=b2+c2
Demonstratie:
AD AB, AB paralel cu DC
1.AB=DE=c
2.DC=AE=b
3.m D=m A=
Din 1,2,3 ?ABE=?DEC aECi=aEBi, m =m ABE m si CE=EB
?ABCD=
?ABCD=2?ABE+?BEC=2·
Prob.6 Dintre toate triunghiurile ABC de laturi AB=c si AC=b, sa se determine cel de arie maxima.
Prob 23/130 G. Turcitu-Geometrie plana

Demonstratie:
??ABC=
??ABC este maxima sinA=maxim
Triunghiul de arie maxima este triunghiul dreptunghic in A

Prob.7 Sa se demonstreze teorema bisectoarei folosind ariile.
Prob47 G. Turcitu-Geometrie plana

A

B D A1 C

Ip: ?ABC
aAA1 bisectoarea
AD BC, A1, D (BC)
C:
Demonstratie:
1.??ABA1=
2.?AA1C=
Din 1 si 2

Prob.8 In triunghiul echilateral ABC cu inaltimile AD si BE si ortocentrul H. Demonstrati ca aria ABH este egala cu aria HDCE.
A E:12517-GM 3/2003 pagina 133
A

E

B D C

Ip:ABC triunghi echilateral
AD BC
BE AC
AD BE=AHS
C:Aria ABH=ariaHDCE
Demonstratie:
In triunghul echilateral ortocentrul coincide cu centrul de greutate al triunghiului.
?HDCE=?ADC-?AHE
?AHE=?BHD 1.
2.AH=BH
3. =
Din 1, 2 si 3 11.?AHE=?BHD
21.??ABD=??ADC
Din 11 si 21 ?ABD-?AHD=?ADC-?BHD ?ABH=?HDEC

Bibliografie:
V. Barbulescu -; Caleidoscop matemetic -; Ed. “Petrion” -; Buc 1996
Arthur Balauca, Ioan Ticala -; Geometrie plana -; Ed. “Remos” -Chisinau 1995
Dan Branzei -; Matematica in concursurile scolare 2000 -; Ed. “Paralela 45” -; 2000
George Turcitu -; Geometrie plana clasele VI-VII -; Ed. “Radical” -; 1995
Colectia Gazeta Matematica