I.INTRODUCERE f1e16er
In cadrul complexului de obiective pe care le implica predarea-invatarea matematicii
in ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezinta o activitate de profunzime,
cu caracter de analiza si sinteza superioara. Ea imbina eforturile mintale de
intelegere a celor invatate si aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei
creative, inventive, totul pe fondul stapanirii unui repertoriu de cunostinte
matematice solide (notiuni, definitii, reguli, tehnici de calcul), precum si
deprinderi de aplicare a acestora.
Valoarea formativa a rezolvarilor de probleme sporeste pentru ca participarea
si mobilizarea intelectuala a elevilor la o astfel de activitate este superioara
altor demersuri matematice, elevii fiind pusi in situatia de a descoperii ei
insisi modalitatile de rezolvare si solutia, sa formuleze ipoteze si apoi sa
le verifice, sa faca asociatii de idei si corelatii inedite, etc.
Rezolvarea problemelor pune la incercare in cel mai inalt grad capacitatile
intelectuale ale elevilor, le solicita acestora toate disponibilitatile psihice,
in special inteligenta.
Notiunea de problema are un continut larg si cuprinde o gamalarga de preocupari
si actiuni din domenii diferite.
In sens psihologic,’’o problema ’’este orice situatie,
dificultate, obstacol intampinat de gandire in activitatea practica sau teoretica
pentru care nu exista un raspuns gata formulat.
In general, orice chestiune de natura practica sau teoretica care reclama o
solutionare , o rezolvare, poarta numele de problema.
Referindu-ne la matematica, prin problema se intelege o situatie a carei solutionare
se poate obtine esential prin procese de gandire si calcul.Problema de matematica
reprezinta transpunerea unei situatii practice sau unui complex de situatii
practice in relatii cantitative si in care pe baza valorilor numerice date si
aflate intr-o anumita dependenta unele fata de altele si fata de una sau mai
multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute.
In activitatea teoretica si practica omul intalneste atit situatii identice
, in a caror rezolvare aplica metode si procedee standardizate de tip algoritmic,
dar si situatii noi pentru care nu gaseste solutii in experienta dobandita sau
intre mijloacele deja invatate.Cind situatia poate fi rezolvata pe baza cunostintelor
sau deprinderilor anterior formate, deci a unor solutii existente in experienta
castigata, elevul nu mai este confruntat cu o problema noua.In cazul situatiilor-problema
este nevoie de explorarea situatiei prin aplicarea creatoare a cunostintelor
si tehnicilor de care dispune rezolvitorul in momentul respectiv, scopul fiind
acela al descoperirii implicatiei ascunse, a necunoscutei, a elaborarii rationale
a solutiei.
Rezolvarea problemelor de matematica contribue la clarifi- carea, aprofundarea
si fixarea cunostintelor invatate la acest obiect de studiu.In acelasi timp,
explicarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia
sau mai multor probleme in cadrul carora se subliniaza o proprietate, definitie
sau regula ce urmeaza a fi invatate.
Prin rezolvarea problemelor de matematica elevii isi formeaza deprinderi eficiente
de munca intelectuala, care se vor reflecta pozitiv si instudiul altor discipline
de invatamant, isi educa si cultiva calitatile moral-volitive.In acelasi timp,
activitatile matematice de rezolvare si compunere a problemelor contribuie la
imbogatirea orizontului de cultura generala al elevilor prin utilizarea in continutul
problemelor a unor cunostinte pe care nu le studiaza la alte discipline de invatamant.
Este cazul informatiilor legate de distanta, viteza, timp, pret de cost, cantitate,
dimensiune, greutate, arie, durata unui fenomen etc.
Problemele de aritmetica, fiind legate cel mai adesea prin insasi enuntul lor
de viata, de practica, dar si prin rezolvarea lor, genereaza la elevi un simt
al realitatii de tip matematic, formandu-le deprinderea de a rezolva si alte
probleme practice pe care viata le pune in fata lor. Rezolvarea sistematica
a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor
seturi de priceperi, deprinderi si atitudini pozitive care le dau posibilitatea
de a rezolva in mod independent probleme, de a compune ei insisi probleme .
II.ETAPELE REZOLVARII
PROBLEMELOR
Introducerea elevilor in activitatea de rezolvare a problemelor se face progresiv,
antrenandu-i in depunerea de eforturi marite pe masura ce inainteaza in studiu
si pe masura ce experienta lor rezolutiva se imbogateste.Varietatea si complexitatea
problemelor pe care le rezolva elevii sporeste efortul mintal si eficienta firmativa
a activitatii de rezolvare a problemelor.Trebuie sa delimitam insa doua situatii
in rezolvarea problemelor, situatii care solicita in mod diferit mecanismele
intelectuale ale elevilor : a-Cand elevul are de rezolvat o problema asemanatoare cu cele rezolvate anterior
sau o problema-tip (care se rezolva prin aceeasi metoda comuna tuturor problemelor
de tip respectiv).In acest caz elevul este solicitat sa recunoasca tipul de
problema carui ii apartine problema data.Prin rezolvarea unor probleme care
se incadreaza in aceeasi categorie, avand acelasi mod de organizare a judecatilor,
acelasi rationament, in mintea elevilor se fixeaza principiul de rezolvare a
problemei, schema mintala de rezolvare.In cazul problemelor tipice, aceasta
schema se fixeaza ca un algoritm de calcul, algoritmul de rezolvare a problemei. b-In cazul cand elevul intalneste probleme noi,necunoscute, unde nu mai poate
aplica o schema mintala cunoscuta, gandirea sa este solicitata in gasirea caii
de rezolvare ; experienta si cunostintele de rezolvare,desi prezente, nu mai
sunt orientate si mobilizate spre determinarea categoriei de probleme si spre
aplicarea algoritmului de rezolvare.Elevul trebuie ca, pe baza datelor si a
conditiei problemei, sa descopere drumul spre aflarea necunoscutei. In felul
acesta el realizeaza un act de creatie, care consta in restructurarea datelor
propriei sale experiente si care este favorizat de nivelul flexibilitatii gandirii
sale, de capacitatea sa combinatorica si anticipativa. In rezolvarea unei probleme,
lucrul cel mai important este construirea rationamentului de rezolvare, adica
a acelui sir de judecati orientate catre descoperirea necunoscutei.
Rezolvarea oricarei probleme trece prin mai multe etape .In fiecare din aceste
etape, datele problemei apar in combinatii noi, reorganiza rea lor la diferite
nivele ducand catre solutia problemei. E vorba de un permanent proces de analiza
si sinteza ( prin care se separa si reconstituie , se desprinde si construieste
rationamentul care conduce la solutia problemei), de o imbinare aparte a analizei
cu sinteza, caracterizata prin aceea ca diferitele elemente luate in consideratie
isi dezvaluie mereu noi aspecte (analiza) in functie de combinatiile in care
sunt plasate (sinteza ).
Procesul de rezolvare a unei probleme presupune deducerea siformularea unor
ipoteze si verificarea lor. Dar formularea acestor ipoteze nu este rezultatul
unei simple inspiratii, ci presupune atat un fond de cunostinte in rezolvarea
problemelor, cat si o gama variata de deprinderi si abilitati intelectuale necesare
in procesul rezolvarii problemelor.Diferitele ipoteze (enunturi ipotetice care
ne vin in minte in legatura cu problema pusa)nu apare la intamplare.Ele iau
nastere pe baza asociatiilor, pe baza cunostintelor asimilate anterior.Cu cat
aceste cunostinte sunt mai largi si mai profunde, cu atat sunt mai mari sansele
ca ipotezele care se nasc in mintea rezolvitorului sa il conduca mai repede
la o solutie, cu cat fondul din care sunt alese ipotezele este mai bogat, cu
atat alegerea este mai buna.De aceea in ori ce domeniu, capacitatea de a rezolva probleme complexe este conditionata de
o solida pregatire de specialitate, dar si de cultura generala.
In rezolvarea problemelor intervin o serie de tehnici, proce- dee, moduri de
actiune, deprinderi si abilitati de munca intelectuala independenta. Astfel
sunt necesare unele deprinderi si abilitati cu caracter mai general cum sunt
: orientarea activitatii mintale asupra datelor problemei,punerea in legatura
logica a datelor, capacitatea de a izola ceea ce este cunoscut de ceea ce este
necunoscut, extragerea acelor cunostinte care ar putea servi la rezolvarea problemei
pre- cum si unele deprinderi specifice referitoare la detaliilor actiunii (cum
sant cele de genul deprinderilor de calcul).
Cu toata varietatea lor, problemele de matematica nu sunt independente, izolate,ci
fiecare problema se incadreaza intr-o anumita categorie.
Prin rezolvarea unor probleme care se incadreaza in aceeasi categorie,avand
acelasi mod de organizare a judecatilor,deci acelasi rationament,in mintea copiilor
se contureaza schema mintala de rezol-vare, ce se fixeaza ca un algoritm sau
semialgoritm de lucru, care se invata, se transfera si se aplica la fel ca regulile
de calcul.
Aflarea caii de rezolvare a unei probleme este mult mai usu- rata in cazul in
care se poate subsuma problema noua unei catego- rii, unui tip determinat de
probleme, deja cunoscute.Dar aceasta sub- sumare se poate face corect numai
daca au fost intelese particularita- tile tipice ale categoriei respective,
rationamentul rezolvarii ei, daca se descopera si recunoaste in orice conditii
concrete s-ar prezenta problema (domeniul la care se refera, marimea si natura
datelor etc.).
De o mare importanta in rezolvarea problemelor este intele- gerea structurii
problemei si a logicii rezolvarii ei.Pentru a ajunge la generalizarea rationamentului
comun unei categorii de probleme, tre- buie sa fie formate capacitatile de a
analiza si de a intelege datele problemei, de a sesiza conditia problemei si
de a orienta logic sirul de judecati catre intrebarea problemei.
Cand se rezolva o problema compusa, aparent se rezolva pe rand mai multe probleme
simple. In esenta, nu este vorba de proble- me simple care se rezolva izolat.
Acestea fac parte din structura problemei compuse, rezolvarea fiecareia dintre
ele facandu-se in directia aflarii necunoscutei, fiecare problema simpla rezolvata
reprezentand un pas inainte, o veriga pe calea rationamentului proble- mei compuse,
de natura sa reduca treptat numarul datelor necunoscute.
Sa luam drept exemplu problema : « O gospodina a cumparat 3kg de zahar
a 14 000 lei kilogramul si 2l de ulei a 18 000 lei litrul. Ce rest a primit
de la 100 000 lei ? »
3kg……14 000lei/kg…….2l…….18 000lei/l…….100
000lei…. ?
Dupa rezolvarea primei probleme simple ( a cumparat 3kg de zahar a 14 000 lei
kg, cat costa zaharul ?), problema se reformuleaza astfel:
« O gospodina a cumparat zahar de 42 000 lei si 2l de ulei a 18 000 lei
litrul.Ce rest a primit de la 100 000 lei ? »
42 000 lei……2l……..18 000lei/ l……..100 000
lei…… ?
Dupa rezolvarea celei de a doua probleme simple ( a cumparat 2 litri de ulei
a 18 000 lei litrul, cat costa uleiul ? ), problema se reformuleaza astfel :
« O gospodina a cumparat zahar de 42 000 lei si ulei de 36 000 lei. Ce
rest a primit de la 100 000 lei ? « ,problema se reformuleaza, in final,
ca o problema simpla :”O gospodina a cumparat zahar si ulei de 78 000
lei.
Ce rest a primit de la 100 000 lei ? »
78 000 lei………….100 000 lei…….. ?
Schematic, procesul de reformulare a problemei si de reducere treptata a datelor
necunoscute s-ar prezenta astfel :
3kg………14000lei/kg……..2l……18000lei/l…..……100000lei
?
42 000lei…………………..2l……….18
000lei/l……100 000lei ?
42 000lei……………………….36
000lei……………100 000lei?
78 000 lei………………………..100
000lei ?
In activitatea de rezolvarea a unei probleme se parcurg mai multe etape.In
fiecare etapa are loc un proces de reorganizare a datelor si de reformulare
a problemei, pe baza activitatii de orientare a rezolvitorului pe drumul si
in directia solutiei problemei.
Aceste etape sunt :
A-Cunoasterea enuntului problemei
B-Intelegerea enuntului problemei
C-Analiza problemei si intocmirea planului logic
D-Alegerea si efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii judecatilor
din planul logic
E-Activitati suplimentare :
- verificarea rezultatului
- scrierea sub forma de exercitiu
- gasirea altei cai sau metode de rezolvare
- compunerea de probleme dupa o schema asemanatoare etc.
A-Cunoasterea enuntului problemei
Este etapa de inceput in rezolvarea oricarei probleme. Rezolvitorul trebuie
sa afle care sunt datele problemei, cum se leaga intre ele, care este necunoscuta
problemei.
B-Intelegerea enuntului problemei
Nu este posibil ca elevul sa formuleze ipoteze si sa con- struiasca rationamentul
rezolvarii problemei decat in masura in care cunoaste termenii in care se pune
problema. Enuntul problemei contine un minim necesar de informatii.Datele si
conditia problemei reprezinta termenii de orientare a ideilor, a analizei si
sintezei, precum si a generalizarilor ce se fac treptat pe masura ce se inainteaza
spre solutie.Intrebarea problemei indica directia in care trebuie sa se orienteze
formularea ipotezelor.Acest minim de informatii trebuie re- ceptionat in mod
optimal de catre elevi princitirea textului problemei, prin ilustrarea cu imagini
sau chiar cu actiuni cand este cazul.
De exemplu, problema : « Intr-o tabara au fost in prima serie 208 elevi
iar in seria a doua cu 250 de elevi mai multi decat in prima serie. Cati copii
au fost in ambele serii ?
Prin discutii cu elevii,trebuie retinute elementele matematice importante: datele
problemei, relatiile dintre date, intrebarea proble- mei.Nereceptionarea corecta
a enuntului problemei genereaza multe dificultati in activitatea de rezolvare,cum
ar fi :schimbarea sensului unor date(in loc de « mai mult cu 250 de copii
» in seria a doua unii elevi retin ca « au fost 250 de elevi »),
neglijarea unor date, luarea in consideratie a unor numere care nu au functie
de « date » ale problemei etc.
C-Analiza problemei si intocmirea planului logic
Este etapa in care se produce eliminarea aspectelor ce nu au semni- ficatie
matematica si se elaboreaza reprezentarea matematica a enuntului problemei.
Aceasta este faza in care se « construieste »rationamentul prin
care se rezolva problema, adica drumul de legatura intre datele problemei si
necunoscuta.
Prin exercitiile de analiza a datelor, a semnificatiei lor, a relatiilor dintre
ele si a celor dintre date si necunoscute se ajunge sa ne ridicam de la situatiile
concrete pe care le prezinta problema (« a parcurs……. kilometri
», « a cumparat…kilograme »,a… lei kilograme s.a.)
la nivelul abstract care vizeaza relatiile dintre parte si intreg ; viteza,
distanta si timp ; cantitate, pret, valoare etc.
Transpunand problema intr-un desen, intr-o imagine sau intr-o schema scriind
datele cu relatiile dintre ele intr-o coloana s.a., evidentiem esenta matematica
a problemei, adica reprezentarea matematica a continutului ei. Se sesizeaza
cum este cazul problemei cu cumparaturile mai inainte prezentata, ca este vorba
de suma a doua produse .
In cazul celei de a doua probleme ( cu elevii) mai sus amintita, este vorba
de o suma de doi termeni in care al doilea termen nu este exprimat numeric,
ci reprezinta suma a doua numere.
In momentul in care este transpusa problema in relatii matematice, solutia este
ca si descoperita.
D-Alegerea si efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii din planul logic.
Aceasta etapa consta in alegerea si efectuarea calculelor din planul de rezolvare,
in constientizarea semnificatiei rezultatelor partiale ce se obtin prin calcule
respective si, evident, a rezultatului final.
De o importanta majora in formarea abilitatilor, a priceperilor si de- prinderilor
de a rezolva probleme il are etapa urmatoare.
E-Activitati suplimentare dupa rezolvarea problemei
Ea consta in verificarea solutiei problemei, in gasirea si a altor metode
de rezolvare si de alegere justificata a celei mai bune.Este etapa prin care
se realizeaza si autocontrolul asupra felului in care s-a insusit enuntul problemei, asupra rationamentului realizat si a demer- sului
de rezolvare parcurs.
III. CLASIFICAREA PROBLEMELOR
DE ARITMETICA
Problemele de aritmetica ar putea fi clasificate dupa mai multe criterii:
1.Dupa continut, ele se clasifica in practice (probleme referi- toare la numere)
si teoretice (probleme referitoare la numere, operatii si proprietatile operatiilor).
2.Dupa complexitate, ele se clasifica in probleme simple (in general cu o singura
operatie sau cu un grup dat de operatii) si probleme complexe, cu doua sau mai
multe operatii legate intre ele.
3.Dupa gradul de generalitate, ele se clasifica in probleme tipice si probleme
compuse obisnuite.
4.Dupa metoda de rezolvare, ele se clasifica in probleme cu aplicare directa
a operatiilor si probleme reductibile la o metoda ( falsa ipoteza mersul invers,metoda
grafica, etc. ).
IV. METODOLOGIA ACTIVITATII
DE REZOLVARE A PROBLEMELOR
Organizarea activitatii de rezolvare aproblemelor se fundamenteaza pe cele
cinci principale etape si momentul de efort mintal pe care il parcurg elevii,
si anume :
· cunoasterea enuntului problemei
· intelegerea enuntului problemei
· analiza si schematizarea problemei
· rezolvarea propriu-zisa a problemei
· verificarea rezolvarii problemei si punerea rezolvarii sub forma de
exercitiu, formularea de alte probleme ce se rezolva dupa acelasi exercitiu,
generalizarea etc.
IV .1.Rezolvarea problemelor simple
Primele probleme simple sunt acelea pe care si le pune co- pilul zilnic in scoala, in familie, in timpul jocului si care sunt ilus trate cu exemple familiare lui. Pentru ai face sa vada inca din clasa intai utilitatea activitatii de rezolvare a problemelor este necesar ca mi cii scolari sa inteleaga faptul ca in viata de toate zilele sunt situatii cand trebuie gasit un raspuns la diferite intrebari.
Rezolvarea primelor probleme se realizeaza la un nivel con cret, ca actiuni de viata ( au mai venit…fetite, s-au spart….baloane,
au plecat…ratuste, i-a dat creioane colorate, au mancat… bomboane),
ilus trate prin imagini sau chiar prin actiuni executate de copii( elevul vine la magazin, cumpara, plateste sau elevul este la scoala si primeste car ti sau creioane ).In aceasta faza, activitatea de rezolvare a problemelor se afla foarte aproape de aceea de calcul. Introducerea in rezolvarea pro- blemelor
simple se face inca din perioada pregatitoare primelor operatii.
Rezolvarea problemei simple reprezinta un proces de anali- za si sinteza in
cea mai simpla forma. Problema cuprinde valorile nume - rice (datele cunoscute
si intrebarea ). La cea mai simpla analiza a intre barii problemei se ajunge la valorile numerice, si la cea mai simpla sin-teza
a valorilor numerice se ajunge la intrebarea problemei. Elevul tre- buie sa
transpuna relatia dintre valorile numerice ("din 7 pasarele au zburat 2") intr-o operatie de scadere.
El nu va putea sa sesizeze relatia justa care duce la rezolva- rea problemei,
nu va putea descoperi solutia problemei, decat in masura in care va fi constient
de semnificatia valorilor numerice si de rezolva- rea problemei.
A rezolva in mod constient o problema simpla, inseammna a cunoaste bine punctul
de plecare ( valorile numerice si relatia dintre ele) si punctul la care trebuie
sa se ajunga (intrebarea problemei), inseamna a stabili intre acestea o relatie
justa, adica a alege operatia aritmetica pentru rezolvarea problemei.
Desi rezolvarile de probleme simple par usoare, trebuie sa se aduca in atentia
copiilor toate genurile de probleme care se rezolva printr-o singura operatie
aritmetica. Aceste tipuri sunt :
· Probleme simple bazate pe adunare
- de aflare a sumei a doi termeni;
- de aflare a unui numar mai mare cu un numar de unitati decat un numar dat
;
- probleme de genul « cu atat mai mult ».
· Probleme simple bazate pe scadere
- de aflare a restului ;
- de aflare a unui numar care sa aiba cu un numar de unitati mai putine decat
un numar dat ;
- de aflare a unui termen atunci cand se cunosc suma si un termen al sumei ;
- probleme de genul « cu atat mai putin »
· Probleme simple bazate pe inmultire
- de repetare de un numar de ori a unui numar dat ;
- de aflare a produsui ;
- de aflare a unui numar care sa fie de un numar de ori mai mare decat un numar
dat ;
· Probleme simple bazate pe impartire
- de impartire a unui numar dat in parti egale ;
- de impartire prin cuprindere a unui numar prin altul ;
APLICATII
1. Daniela a cules 5 ciuperci, iar Irina a cules 10 ciuperci.
Cate ciuperci au cules impreuna ?
Rezolvare :
Cate ciuperci au cules impreuna ?
5+10=15(ciuperci)
Raspuns :15ciuperci
2. Afla numerele cu 12 mai mari decat : 45, 63 si 15.
Rezolvare :
45+12=57
63+12=75
15+12=27
Raspuns : 57, 75 si 27
3.Intr-un cos sunt 13 mere, iar in alt cos sunt cu 21 mai multe mere decat in
primul.
Cate mere sunt in al doilea cos ?
Rezolvare:
Cate mere sunt in al doilea cos ?
13+21=33(mere)
Raspuns:33mere
4.Ionel avea o cutie cu 20 bomboane.El a mancat 10 bomboane.
Cate bomboane i-au mai ramas ?
Rezolvare :
Cate bomboane i-au mai ramas ?
20-10=10(bomboane)
Raspuns :10 bomboane
5.Afla numerele cu 30 mai mici decat :70, 90, 80.
Rezolvare :
70-30=40
90-30=60
80-30=50
Raspuns :40, 60, 50.
6.Ce numar trebuie adunat cu 40 ca sa obtinem 90 ?
Rezolvare : a+40=90 a=90-40 a=50
Raspuns:50
7.Ana a rezolvat 13 probleme, iar colega ei, Ina,cu trei probleme mai putine.
Cate probleme a rezolvat Ina ?
Rezolvare:
Cate probleme a rezolvat Ina ?
13-3=10(probleme)
Raspuns:10 probleme
8. Mama a cumparat 7 kilograme de mere, platind 5000 lei pentru fiecare kilogram.
Cati lei a dat pe toata cantitatea ?
Rezolvare :
Cati lei a dat pe toata cantitatea ?
7*5 000=35 000
Raspuns :35 000 lei
9.Intr-un parc trebuie saditi 63 de trandafiri asezati pe 7 randuri.
Cati trandafiri vor fi saditi pe fiecare rand ?
Rezolvare :
Cati trandafiri vor fi saditi pe fiecare rand ?
63 :7=9 (trandafiri)
Raspuns : 9 trandafiri
10.Un calator are de parcurs o distanta de 12 kilometri.
El a parcurs ¾ din aceasta distanta .
Cati kilometri a parcurs calatorul ?
Rezolvare :
Cati kilometri a parcurs calatorul ?
3*12 :4=
=36 :4
=9(kilometri)
Raspuns :9 kilometri
IV.2.REZOLVAREA PROBLEMELOR
COMPUSE
Spre deosebire de rezolvarea problemelor simple, rezolvarea problemelor compuse
reprezinta un fenomen psihic mai complex.
Problema compusa fiind alcatuita din mai multe probleme simple, cuprinde un
complex de situatii concrete, de relatii in care se cere sa se determine o valoare
numerica necunoscuta pe baza unor valori numerice date, care se gasesc intr-o
anumita dependenta una de alta si toate fata de marimea cautata.
Problema compusa este alcatuita din mai multe probleme simple, care se succed
intr-o inlantuire logica. Continutul problemei compuse are nu numai doua valori
numerice, ci mai multe.
Pentru rezolvarea problemelor trebuie sa se aleaga din toa- te valorile numerice
perechi de valori care se leaga intre ele printr-o relatie determinata.
Aceasta e o activitate dificila, care cere un anumit efort al gandirii si o
anumita experienta. De altfel, aceasta alegere a valorilor numerice nu se face
numai in scopul sistematizarii lor,ci constituie deprinderea problemelor simple
din cadrul problemei compuse. E vorba de un proces de analiza, care trebuie
orientat catre sinteza ce urmeaza, catre intrebarea problemei.
Citam o problema compusa cu 3 operatii, pentru a ilustra problemele simple componente,
precum si intrebarile itermediare.
Mama a cumparat 3m de panglica cu 2 000 lei metrul si 4m de elastic cu 3 000
lei metrul. Cati lei a cheltuit mama ?
Cati lei costa panglica ? Cati lei costa elasticul?
Etapele metodice in rezolvarea problemelor compuse sunt:
1. Insusirea enuntului problemei;
2. Examinarea problemei;
3. Alcatuirea planului de rezolvarea problemei
4. Rezolvarea propriu-zisa ;
Intre aceste etape exista o strinsa legatura.
1.Insusirea enuntului problemei inseamna cunoasterea continutului problemei,
a tematicii, sau a domeniului din realitatea obiectiva la care se refera datele
problemei, precum si cunoasterea acestor date si a intrebarii problemei.
Asadar, insusirea enuntului problemei nu inseamna cunoasterea si reproducerea
textului ei, ci inseamna patrunderea treptata in continutul problemei. Aceasta
se realizeaza prin :
-expunerea sau citirea problemei ;
-discutii in legatura cu continutul problemei;
-concretizarea ei prin diferite mijloace intuitive;
-explicarea cuvintelor si a expresiilor necunoscute;
-schematizarea problemei prin discutii, scheme;
-scrierea enuntului problemei;
2.Examinarea problemei constituie activitatea cea mai importanta in rezolvarea
problemelor.
Examinarea problemei se face pe cale analitica sau sintetica.
Calea sintetica, reprezentand drumul de la valorile numerice cunoscute catre
intrebarile problemei, de la cunoscut la necunoscut este mai usoara decat calea
analitica.
Examinarea analitica a problemei, pornind de la intrebare catre valorile numerice
cunoscute, deductia, de la necunos- cut la cunoscut este mai grea, obliga elevul
la un efort mai mare.
In practica, s-a demonstrat ca metoda sintezei este mai accesibila, dar nu solicita
prea mult gandirea elevilor. Mai mult, se constata ca unii elevi pierd din vedere
intrebarea problemei si sunt tentati sa calculeze valori de marimi care nu sunt
necesare in gasirea solutiei problemei.
Metoda analitica pare mai dificila, dar solicita mai mult gandirea elevilor.
APLICATII
Problema. O ferma agricola a contractat predarea a 2/5 din productia sa de
grau, restul distribuindu-se asociatilor sai..Sa se calculeze cantitatea de
grau ce revine unui asociat pentru un hectar, daca suprafata totala insamantata
a fost de 648 ha, productia medie la hectar fiind de 3 800 kg .
Rezolvare :
Metoda sintactica a)Cunoscand suprafata insamantata si productie medie la hectar se poate afla
productia totala .
648*3 800=2 462 400 ( kg) b)Cunoscand productia totala si ce parte din ea a fost con tractata se poate afla cantitatea de grau ce trebuie predata conformcontractului
.
2 462 400*2 :5=
= 4 924 800 :5
= 984 960 ( kg) c)Cunoscand productia totala si cantitatea de grau ce tre- buie predata se poate
afla cantitatea de grau ce se repartizeaza asociatilor.
2 462 400-984 960=1 477 440 (kg) d)Cunoscand intreaga cantitate de grau ce se repartizea- za asociatilor se poate
afla cantitatea de grau ce revine unui asociat pentru un hectar .
1 477 440 :648=2280 (kg)
Metoda analitica a)Pentru a afla ce cantitate de grau revine unui asociat pen- tru un hectar,
ar trebui sa stim intreaga cantitate ce se repartizeaza asociatilor.
Fie « C » cantitatea de grau ce se repartizeaza asociatilor si «
X » cantitatea de grau ce revine unui asociat pentru un hectar.
X=C :648 b)Pentru a afla cantitatea de grau ce se repartizeaza asociati- lor, ar trebui
sa facem o operatie de scadere.
Fie « T » cantitatea totala .
C=T-2/5T c)Pentru a face aceasta operatie ar trebui sa stim ce can- titate de grau se
livreaza conform contractului, adica sa aflam 2/5din cantitatea totala. d)Pentru a afla ce cantitate de grau se livreaza conform con- tractului ar trebui
sa cunoastem productia totala.
T=3 800*648
T=2 462 400 (kg)
In continuare aflam 2/5T
2/5T=2*2 462 400:5
=4 924 800:5
=984 960 (kg)
Prin inlocuiri succesive obtinem « C »si in final « X »
C=T-2/5T
C=2 462 400-984 960
C=1 477 440 (kg)
X=C:648
X=1 477 440:648
X=2 280 (kg)
Raspuns:2 280 (kg)
Metoda analitico-sintactica
A rezolva o problema prin metoda analitico-sintactica in-seamna a o examina
partial analitic si partial sintactic fara ca sa exis- te reteta de prioritate
la inceperea examinarii pentru o metoda sau alta.
Exemplu :
Problema. De la un magazin s-au cumparat pentru o cantina 45kg orez de calitatea
I cu 10 500 kg, 82 kg de calitatea a II-a cu 9 000 lei/kg si 123 kg de calitatea
a III-a.
Cat a costat un kilogram de orez de calitatea a III-a daca transportul a costat
44 000 lei, revenind in medie pentruun kilo- gram de orez 9 200 lei ?
Rezolvare :
Vom aplica la inceput metoda sintactica. a)Cunoscand cat costa 1 kg de orez de calitatea I si cat orez de aceasta calitate
s-a cumparat, putem afla cat a costat orezul. 10 500*45=472 500 ( lei) b)Cunoscand cat costa 1 kg de orez de calitatea a II-a si cat orez de aceasta
calitate s-a cumparat, putem afla cat a costat orezul.
9 000*82=738 000 (lei)
Continuam cu metoda analitica. c)Ca sa aflam cat costa 1 kg de orez de calitatea a III-a tre- bui sa cunoastem
cat s-a platit pe 123 kg de orez de aceasta calitate. Fie «D » costul
celor123 kg de orez atunc 1 kg va costa :
X=D :123 d)Ca sa gasim costul a 123 kg de orez de calitatea a III-a ,adi- ca D, va trebui
sa scadem banii dati pe primele doua calitati din suma totala.
Fie “C” suma platita pentru tot orezul. Atunci :
D=C-(472 500+738 000) e)Cat costa toata cantitatea de orez ?(sintactic)
45+82+123=250 (kg)
9 200*250=2 300 000 (lei) f)Cat costa cel 250 kg de orez fara transport?(sintactic)
2 300 000-44 000=2 256 000(lei)
C=2 256 000 lei g)Cat costa 123 kg de orez de calitatea a III-a ?
D=C-1 210 500
D=2 256 000-1 210 500
D=1 045 500 (lei) h)Cat costa un kg de orez de calitatea a III-a ?
X=1 045 500 :123
X=8 500 (lei)
Raspuns :8 500lei
IV.3 REZOLVAREA PROBLEMELOR-TIP
Prin problema tipica intelegem acea constructie matema- tica a carei rezolvare
se realizeaza pe baza unui anumit algoritm specific fiecarui tip. O asemenea
problema se considera teoretic rezolvata in momentul in care i-am stabilit tipul
si suntem in posesia algoritmului de rezolvare.
IV.3.1Probleme care se rezolva prin metoda figurativa(metoda grafica)
Metoda figurativa este o metoda ce consta in reprezen ta- rea printr-o figura
a marimilor necunoscute si fixarea in acest desen a relatiilor intre ele si
marimile date in problema.
Figura reprezinta o schematizare a enuntului, pentru a se pastra in atentie
relatiile matematice si nu toate aspectele concret. Rezolvitorul de probleme
de aritmetica simte nevoia sa-si« apropie » datele problemei, precum
si relatiile dintre acestea din textul enuntului. Pentru aceasta realizeaza
un desen, o figura, un model, care sa oglindeasca datele problemei.Daca rezolvitorul
este « la inceput de drum » desenul sau este cat mai detaliat, iar
pe masura ce el isi formeaza unele priceperi si deprinderi, figura devine cat
mai abstracta, cat mai schematica, ea « prinzand » in cadrul modelului
numai esentialul.
Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem imparti in doua mari
categorii si anume :
A.Cu date sau marimi « discrete » intelegand prin aceasta ca marimile
pot fi numarate cate una si ca se pot pune in corespondenta dupa anumite criterii.
In acest caz marimile le “figuram” prin simboluri.
B.Cu date sau marimi « continui »,caz in care, le figuram prin segmente.
APLICATII
Problema 1.Daca se asaza cate un elev intr-o banca raman 14 elevi in picioare.
Daca asezam cate 2 elevi intr-o banca ra -man 3 banci libere. Cati elevi si
cate banci sunt ?
Scriem datele :
1elev.…………1banca……...14elevi…...2elevi……1banca…..3banci….
……..?elevi…?banci.
Observam ca datele problemei sunt marimi carora le-am zis « discrete »(banci
si elevi),marim care se pot pune in coresponden- ta dupa criterii desprinse
din analiza textului. Deci din analiza primei parti a enuntului desprindem ca
multimea elevilor si multi- mea bancilor pot fi in asa fel « privite »
incat elementele lor sa fie organizate astfel: fiecarui elev ii corespunde o
banca, situatie in care 14 elevi raman in picioare, deci nu au loc.
Figuram banca cu B si elevul cu e. Asezam cate un elev intr-o banca. Obtinem
grupe de forma :
e e e e e…..e 14 elevi
B B B B B….B
Acum, legatura cu partea a doua a enuntului s-ar face astfel :cei 14 elevi ce
erau in picioare vor completa 14 banci pana la doi elevi.
e e e e e……e……e e……….e
B B B B B…...B……B B………B e e e e e……e…….e
14 B nu stim cate
Deoarece enuntul mentioneaza ca asezandu-i cate doi intr-o banca raman 3 banci
libere, inseamna ca din aceste banci s-au mai ridicat 3 elevi ( initial fiecare
banca avea cate un elev ) care au completat ca si ceilalti colegi ai lor inca
trei banci cu doi elevi.
e e e e………e e e e
B B B B……...B B B B B B B e e e e………e e e e
14 B 3 B 3 B
Sa recapitulam deci : avem 14 banci cu cate doi elevi com pletate de cei 14 elevi ce erau in picioare si inca 3 banci cu doi elevi completate
astfel prin ridicarea din 3 banci care trebuie sa ramana libere si, in fine,
raman 3 banci libere.
Deci in acea clasa erau :
14+3+3=20 (banci)
Aflarea numarului de elevi, in continuare, nu mai constituie o greutate. Il
putem afla din prima parte a enuntului :
20+14=34 (elevi)
Raspuns :20 de banci si 34 de elev
Problema 2.Intr-o curte alearga gaini si purcei.In total sunt 40 de capete si
100 de picioare. Cate gaini si cati purcei erau ?
Comentand enuntul, la prima vedere s-ar parea ca acesta este incomplet deoarec
nu se expliciteaza cate picioare are o gaina si cate picioare are un purcel.
Dar, in mod normal, aceste date se subinteleg ( toata lumea stie ca o gaina
are 2 picioare si un purcel are4 piciore).
Sa figuram cele 40 de vietati prin niste ovale.
…………
40
Acum le desenam picioarele. Dar unde asezam 2 picioare si unde 4 ?Observam
ca oricum doua picioare are fiecare vietate sile desenam.Figura apare astfel
:
…………
40
Am « folosit » 40*2=80 (picioare) si ne-au mai ramas :
100-80=20 (picioare).
Acum asezam picioarele ramase cate doua la fiecare vie- tate care are deja cate
doua picioare. Formam astfel “purcei”. Asezam doua picioare la prima, doua picioare la adoua vietate si asa mai departe pana
terminam cele 20 picioare ramase. Gasim astfel, numarul de purcei.
………………..
10 purcei
……….
30 gaini
Deci numarul de purcei este 20 :2=10 (purcei).Restul de vietati ramase cu doua
picioare sunt gaini :40-10=30 (gaini)
Raspuns:in curte erau 10 purcei si30 gaini
Se va realiza proba :
10*4+30*2=100 (picioare)
In continuare vom rezolva probleme tot prin metoda figurativa cu marimi e se
preteaza a fi ilustrate prin segmente.
Problema 3.Un tractor pleaca pe sosea de la kilometrul 0, mergand cu aceeasi
viteza. Dupa 2 ore de mers, nu ajunsese la canton ; mai avea pana acolo 14 kilometri.
Dupa 5 ore de mers trecuse de acel canton cu 25 de kilometri.
La ce kilometru era situat cantonul ?
Din analiza enuntului trebuie sa retinem o informatie esentiala si anume aceea
ca tractorul se deplasa cu o viteza constanta.Constatarea ne sugereaza realizarea
unei figuri in care distantele parcurse in fiecare ora sa le putem desena prin
seg- mente egale, puse cap la cap.Figuram mai intai soseaua pe care ne-o imaginam
rectilinie.
0
Prin sageata indicam sensul de deplasare. Punctul 0 sa fie kilometrul 0(zero)
de unde incepe deplasarea tractorului.Nu stim unde trebuie plasat cantonul.
Problema ne spune ca dupa 2 ore de mers,tractorul nu ajunsese la canton.
Convenind ca spatiul parcurs intr-o ora sa-l figuram prin segmentul ,asezam doua asemenea segmente cap la cap incepand cu punctul 0. Figura
devine :
14 Km
O A C B
Deci dupa 2 ore tractorul ajunge la punctul A. Cantonul va fi situat la dreapta
lui A si il materializam prin punctul C, iar pozitia tractorului dupa 5 ore
de la plecare in punctul B.
Acum observam pe grafic ca distanta de la A la C este de 14 km, iar distanta
de la C la B este de 25 kilometri. Graficul arata astfel : dupa 2 h
O A C B
14 km 25 km
Rezolvarea problemei apare din citirea graficului.
1.In cate ore parcurge tractorul distanta AB ?
5-2=3 (ore)
2.Ce distanta parcurge tractorul in acest timp ?
14+25=39 (kilometri)
3.Care este viteza tractorului ?
39 :3=13 (kilom
4.Ce distanta parcurge tractorul in 2 ore ?
13*2=26 (kilome
5.La ce kilometru era situat cantonul ?
26+14=40 (kilometri)
Raspuns :viteza tractorului era de 13 km/h iar tractorul se afla la distanta de 40 kilometri.
Probleme de aflare a numerelor cunoscand suma si diferenta lor
Problemele de aflare a numerelor cand se cunoaste sumasi diferenta lor,se
rezolva prin metoda figurativa.
Exemplu
Problema. Aflati doua numere daca: suma lor este 840, iar diferenta460.
Rezolvare:
Vom reprezenta cele doua marimi care intervin in problema prin doua segmente.
460 840
Diferenta dintre lungimile celor doua segmente este chiar diferenta dintre cele doua numere, iar suma celor doua numere este reprezentata
de doua segmente de aceeasi lungime si inca un segment ce reprezinta tocmai
diferenta de 460. Atunci putem determina numarul mai mic astfel:
(840-460) :2=190,iar numarul mare va fi:
190+460=650
Raspuns :numarul mic este 190 iar numarul mare este 650.
Probleme de aflare a doua numere cunoscand suma sau diferenta lor si raportul lor
Prin raportul a doua numere, in ipoteza ca ele se impart exact, intelegem catul
lor. Acesta (catul) ne arata de cate ori un numar este mai mare decat celalalt.
Problemele de aflare a doua numere cand cunoscand suma sau diferenta lor si
raportul lor, se rezolva tot prin metoda figurativa.
Sa analizam problema urmatoare :
Problema. Aflati doua numere daca suma lor este 480, iar unul dintre ele este
de cinci ori mai mare decat celalalt.
Rezolvare :
Figura acestei probleme este asemanatoare cu cea de la problema precedenta,
cu observatia ca segmentul mai mare este format din 5 segmente mici, care reprezinta
numarul mic, iar suma celor doua numere este practic reprezentata de 6 segmente
reprezentand numarul mic.
480
Pentru a afla numarul mic vom efectua :
480 :6=80 fie 480-80=400
Numarul mare poate fi aflat :
fie 5*80=400
Raspuns:numarul mic este 80 iar numarul mare este 400
.3.2. Probleme de egalare a datelor.
Metoda aducerii la acelasi termen de comparatie.
Problemele care se rezolva folosind aceasta metoda se caracterizeaza prin
faptul ca se dau doua marimi ( care sunt comparate (« in acelasi mod »
) si legatura care exista intre ele. Aceste doua marimi sunt caracterizate prin
cate doua valori fiecare si de fiecare data se cunoaste legatura dintre ele.
Metoda consta in a face ca una din cele doua marimi sa aiba aceeasi valoaresi
astfel pro-blema devine mai simpla, avand o singura necunoscuta. Din aceasta
cauza se si numeste aducerea la acelasi termen de comparatie.
APLICATII
Problema 1.Stiind ca 9 carti si 6 caiete costa 324 000 lei, respectiv 4 carti
si 3 caiete costa 146 000 lei, aflati care este pretul unei carti si al unui
caiet.
Rezolvare : Schematic, enuntul problemei este:
9 carti…………….6 caiete……………….324
000 lei
4 carti…………….3 caiete……………….146
000 lei
Se observa ca, daca a doua oara s-ar fi cumparat dedoua ori mai mult, cantitatea
de caiete cumparate de fiecare data ar fi fost aceeasi, adica schematic am avea:
9 carti……………6 caiete…………….324
000 lei
8 carti……………..6 caiete……………292
000 lei
Planul de rezolvare :
1.Cate carti a cumparat mai mult prima data ?
9-8=1 (carti)
2.Cat costa o carte?( cu cat a platit mai mult prima data ?)
324 000-292 000=32 000 (lei)
3.Cat costa 9 carti ?
32 000*9=288 000 (lei)
4.Cat costa 6 caiete ?
324 000-288 000= 36 000 (lei)
5.Cat costa 1 caiet ?
36 000 :6= 6 000(lei)
Raspuns :o carte costa 36 000 lei, iar un caiet 6 000 lei
Problema 2. 12 pahare si 10 farfurii au costat 106 000 lei.15 pahare si 25
farfurii au costat 220 000 lei. Cat costa un pahar si cat costa o farfurie ?
Rezolvare: Scriem datele:
12 pahare………………10 farfurii…………………106
000 lei
15 pahare………………25 farfurii…………………220
000 lei
Egalam numarul de farfurii. Observam ca acest lucru se poate face impartind
datele de pe primul sir la 2, iar cel de pe al doileasir la 5. Obtinem :
6 pahare……………….5 farfurii……………………53
000 lei
3 pahare……………….5 farfurii…………………….44
000lei
Problema a devenit : si prima data si a doua oara s-a cumparat un acelasi numar
de farfurii(5).Nu am platit aceeasi suma de bani deoarece prima data s-au luat
mai multe pahare. Rezolvarea urmeaza simplu conform rationamentului si operatiilor
de mai jos.
1.Cate pahare s-au cumparat mai mult prima oara ?
6-3=3 (pahare)
2.Cat costa 3 pahare(cu cat s-a platit mai mult prima oara)?
53 000-44 000=9 000 (lei)
3.Cat costa un pahar ?
9 000 :3=3 000 (lei)
4.Cat costa 5 farfurii ?
44 000-9 000=35 000 (lei)
5.Cat costa o farfurie ?
35 000:5=7 000 (lei)
Raspuns:un pahar costa 3 000 lei, iar o farfurie costa 7 000 lei.
IV.3.3.Probleme de presupunere.
Metoda falsei ipoteze
Problemele din aceasta categorie sunt foarte numeroase . Orice problema ale carei date sunt marimi proportionale poate fi rezolvata prin metoda
falsei ipoteze. De regula, se pleaca de la intrebarea problemei, in sensul ca
asupra marimii ce o cautam facem o presupu- nere complet arbitrara. Dupa aceea,
refacem problema pe baza presupunerii facute. Deoarece marimile sunt proportionale,
rezultatele obtinute pe baza presupunerii se « translateaza » in
plus sau in minus, dupa cum presupunerea facuta este mai mare, respectiv mai
mica, decat rezultatul real. Refacand problema, ajungem la un rezultat care
nu concorda cu cel real din problema. Este, fie mai mare, fie mai mic decat
acesta.
In acest moment se compara rezultatul pe baza presupunerii cu cel real, din
punct de vedere al catului si observam de cate ori am gresit cand am facut presupunerea
.Obtinem, asadar, un numar cu ajutorul caruia “corectam” presupunerea
facuta in sensul ca o micsoram sau o marim de acest numar de ori.
APICATII
Problema 1.Pe un vapor s-au vandut 124 bilete pentru clasele I si a II-a ; biletul
de clasa I costa 56 000 lei, iar biletul de clasa a II-a 36 000 lei, incasandu-se
in total suma de 4 994 000 lei.
Cate bilete de fiecare clasa s-au vandut ?
Rezolvare
Presupunem ca toate cele 124 de bilete au fost de clasa I.
Evident ca aceasta ipoteza este falsa, deoarece in numarul total debilete(124)
intrau si cele de clasa I si cele de clasa a II-a.Deci, presupunem ca toate
cele 124 bilete ar fi de clasa I.
Planul de rezolvare este urmatorul :
1.Aflam cat costa biletele :
124*56 000=6 944 000 (lei) F.
In realitate biletele au costat numai 4 944 000 lei.
2.Aflam cu cati lei am obtinut mai mult pe baza presupunerii facute.
6 944 000-4 944 000=2 000 000 (lei)
Acum, in mod firesc, ne intrebam de unde provine aceasta bilet diferenta. Ea
provine din faptul ca au existat si bilete de clasa a II-a si pentru fiecare
de clasa a II-a am socotit cu :
56 000-36 000=20 000 (lei) mai mult presupunandu-l de clasa I.In continuare judecam astfel:
3.Cu cati lei am socotit mai scump un bilet de clasa a II-a ?
56 000-36 000=20 000 (lei)
Pentru cate asemenea bilete de clasa a II-a am socotit in plus cate
20 000 lei ?Pentru atatea bilete, de cate ori 20 000 lei se cuprinde in diferenta
totala de 2 000 000 lei.
4.Cate bilete de clasa a II-a s-au vandut ?
2 000 000 :20 000=100 (bilete de clasa a II-a)
5. Cate bilete de clasa I s-au vandut ?
124-100=24 (bilete de clasa I )
Raspuns :s-au vandut 24 bilete de clasa I si
100 bilete de clasa a II-a
Problema 2.Pentru fiecare problema rezolvata bine un elev primeste 3 puncte
si i se scad 2 puncte pentru fiecare problema gresita. In total, un elev a rezolvat
54 de probleme si a primit 92 de puncte.
Cate probleme a rezolvat bine si cate nu ?
Rezolvare:
1.Presupunem ca elevul a rezolvat bine toate cele 54 probleme si primeste :
54*3=162 (puncte) F
In realitate el a primit 92 de puncte.
2.Cu cate puncte a obtinut elevul mai mult decat in realitate ?
162-92=70(puncte)
Pe baza ipotezei facute ne-a dat o diferenta de punctaj de 70 puncte. Aceasta
diferenta provine din faptul ca fiecare problema rezolvata gresit am socotit-o bine rezolvata.
Pentru o problema gresita elevul a primit in plus 5 puncte:2 puncte trebuie
sa le acopere pe cele care nu s-au scazut si a primit inca 3 puncte considerand
problema buna. Am acordat 5 puncte in plus pentru atatea probleme de cate ori
se cuprinde 5 in 70.
3.Cate probleme a rezolvat gresit elevul ?
70:5=14 (probleme)
4.Cate probleme a rezolvat bine ?
54-14=40 (probleme)
Raspuns:elevul a rezolvat bine 40 probleme si gresit 14 probleme.
IV.3.4.Probleme de rest din rest.
Metoda mersului invers
Aceasta metoda consta in faptul ca enuntul unei probleme trebuie urmarit de
la sfarsit spre inceput. Analizand operatiile facute in problema si cele pe
care le facem noi in rezolvarea problemei, constatam ca de fiecare data, pentru
fiecare etapa, facem operatia inversa celei facute in problema. Deci, nu numai
mersul este invers, ci si operatiile pe care le facem pentru rezolvare sunt
operatiile inverse celor din problema.
Proba (verificarea) se face aplicand asupra rezultatului obtinut peratiile indicate
de problema. Pentru a surprinde metoda, care- ia ii spunem metoda mersului invers,
analizam urmatorul exemplu.
Problema 1.M-am gandit la un numar. Il impart la 7, catului obtinut ii adun
4, suma gasita o inmultim cu 8, iar din produsul obtinut scad 12, obtinand 60.La
ce numar m-am gandit ?
Rezolvare :
Notand cu x numarul cautat, enuntul se scrie prescurtat astfel :
(x :7+4)*8-12=60
Am obtinut oegalitate care in algebra se numeste ecuatie. Sa o rezolvam prin
rationament aritmetic, urmarind enuntul de la sfarsit spre inceput, adica invers,
de unde metoda mersului inver
1.Care este ultuma operatie facuta pentru a obtine 60 ?
Ultima operatie este o scadere in care necunoscuta figureaza la descazut. Deci:
D=R+S, unde D-descazut, S-scazator si R-rest.
D=60+12=72
Problema devine: (x:7+4)*8=72
2.Care este ultima operatie facuta pentru a obtine pe 72?
Inmultirea.Necunoscuta se afla la deinmultit. Deci :
D=P :I, D-deinmultitul, I-inmultitorul, P-produsul.
D=72 :8=9
Problema devine : x :7+4 =9
Cautarile continua in acelasi mod.
3.Care este ultima operatie facuta pentru a obtine pe 9 ?
Adunarea. Necunoscuta figureaza la unul din termeni.
Deci :
T1=S-T2 T1=9-4=5
Problema devine :x :7=5
Aici am ajuns la ultima operatie pe care trbuie sa o facem pen- tru determinarea
lui x (numarul la care m-am gandit).Ea este de fapt prima la care m-am gandit,
care este si prima operatie din enunt. Avem oimpartire, necunoscuta figureaza
la deimpartit.
D=C*I,unde D-deimpartitul, I-impartitorul si C-catul.
Deci :x=5*7=35
Numarul la care m-am gandit este 35.
Pe scurt, etapele parcurse se redacteaza astfel :
(x :7+4)*8-12=60
1.(x :7+4)*8=60+12=72
2. x :7+4=72 :8=9
3. x :7=9-4=5
4. x=7*5=35
Raspuns :35
IV.3.5.Probleme de impartire a unui numar in parti proportionale
Probleme de acest gen, la randul lor, sunt de impartire :
· in parti direct proportinale cu numerele date ;
· in parti invers proportionale cu numerele date .
Baze teoretice
Definitie-Mai multe rapoarte care au aceeasi valoare formeaza un sir de rapoarte
egale.
De exemplu- daca
; …………… atunci
(1)
………….
Proprietatea fundamentala a unui sir de rapoarte egale :
Intr-un sir de rapoarte egale suma numaratorilor pe suma numitorilor ne da un
raport egal cu fiecare din rapoartele date (avand aceeasi valoare )
a1+a2+a3+…an
… b1+b2+b3+…bn
Demonstratie :Notam cu p valoarea comuna a rapoartelor din sirul de mai sus,
adica :
……………
Avem : a1=pb1, a2=pb2, ………..an=pbn.
Insumand vom gasi: a1+a2+………+an=(a1+a2+……..+an)*p, de unde a1+a2+………+an
= p b1+b2+……..+bn adica raportul intre suma numaratorilor si suma numitorilor are tot valoarea
p ca si toate rapoattele din sir.
Daca avem sirul de rapoarte egale (1), spunem ca numerele a1,a2,……,an sunt proportionale,respectiv, cu numerele b1,b2,…..,bn, sau ca lui a1 ii corespund b1*p lui a2 ii corespund b2*p,……,lui
an ii corespund bn*p parti.
Exemplul 1-In sirul de rapoarte egale
10/4=30/12=5/2=70/28=p spunem ca numerele 10; 30; 5 si 70 sunt proportionale cu numerele
4; 12; 5 si 28 sau numarului 10 ii corespund 4*p parti, lui 30, ii corespund
12*p parti, lui 5 ii corespund 2*p parti si lui 70 ii corespund 28*p parti.
Exemplul 2-Sa se gaseasca toate numerele proportionale cu numerele 2 ;7 ;3 ;5.
Rezolvare -pentru aceasta le inmultim pe toate cu p si obti- nem numerele 2p,
7p, 3p, 5p dand lui p orice valoare dorim.
In anumite probleme formularea unei conditii suplimentare permite determinarea lui p in mod unic.
Exemplul 3-Sa se afle 4 numere proportionale cu numerele
2 ; 7 ; 3 si 5 stiind ca al treilea numar este 27.
Rezolvare-Toate numerele proportionale cu 2; 7; 3 si 5 sunt de forma 2p ; 7p
; 3p ;5p(cu p oarecare).Conditia suplimentara din enunt permite calcularea in
mod unic a lui p
3p=27 p=27/3=9
Deci numerele cautate sunt: 2*9=18; 7*9=63; 27 si 5*9=45.
Impartirea unui numar in parti invers proportionale cu mai multe numere date
Definitie : Numerele a1 , a2,…..,an sunt invers proportionale cu numerele
date b1,b2,……bn, daca ele sunt direct proportionale cu inversele
numerelor date, adica: a1 a2 an
1/b1 1/b2 ….. 1/bn sau a1*b1=a2*b2=…………an*bn
Exemplu: Numerele 3,2 si 6 sunt invers proportionale cu numere le 8, 12 si 4
si se scrie :
3 2 6
1/8 1/12 1/4 deoarece 3*8=2*12=4*6.
Regula. Impartirea unui numar in parti invers proportionale cu numere date revine
la impartirea acelui numar in parti direct proportionale cu inversul numerelor
date.
Problema 1.Sa se imparta numarul 206 in patru parti invers proportionale cu numerele : 3/2 ; 2 ; 10/3 ; 4 .
Inversele acestor numere sunt :2/3; 1/2; 3/10; 1/4.
Fie a,b,c,d numerele cautate, parti ale numarului 206. Scriem ca ele sunt direct
proportionale cu numerele 2/3; 1/2;10 si 1/4 aducand totodata aceste fractii
la acelasi numitor.
a b c d
2/3 1/2 3/10 1/4 sau a/40=b/30=c/18=d/15=p a+b+c+d=p(40+30+18+15)
206=p*103 p=2 Deci: a=40*2=80 b=30*2=60 c=18*2=36 d=15*2=30
IV.3.6.Probleme rezolvabile cu regula de trei simpla.Metoda proportiilor
Baze teoretice
Definitia 1: Doua marimi care depind una de alta se numesc direct proportionale
daca indeplinesc conditiile :
· Daca una creste si cealalta creste
· Daca una creste de n ori, atunci cealalta creste de acelasi numar de ori.
Teorema 1 : Raportul a doua valori ale uneia din marimi este egal cu raportul valorilor corespunzatoare ale celeilalte marimi
Definitia 2 :Doua marimi care depind una de alta se numesc invers proportionale
daca indeplinesc conditiile:
· Daca una creste, cealalta descreste;
· Daca una creste de n ori, atunci cealalta descreste de n ori.
Teorema 2 : Fiind date doua marimi invers proportionale raportul a doua valori
ale uneia din marimi este egal cu inversul raportului dintre valorile corespunzaroare
ale celeilalte marimi.
Problema. O cantitate de 250 kg cartofi a fost ambalata in lazi. Dar 375 kg de cartofi in cate lazi se vor ambala ? Asezam datele problemei
pe doua siruri astfel :
250 kg………………..10 lazi x1………y1
375 kg………………..x lazi x2………y2
In aceasta problema cele doua marimi, cantitatea de cartofi si numarul de lazi,sunt direct proportionale.
Pe primul sir se scriu cele doua valori corespunzatoare date.
Pe al doilea sir (rand) se scrie o valoare data a uneia din marimi si valoarea
corespunzatoare ,necunoscuta, a celeilalte marimi.
Deoarece cele doua marimi sunt direct proportionale, conform teoremei 1 putem
scrie:
250 kg 10 lazi
375kg x lazi
Deoarece raportul a doua valori ale unei marimi este egal cu raportul numerelor
care le masoara, avem:
250 10
375 x x=375*10:250=15(lazi)
V. CULTIVAREA CREATIVITATII ELEVILOR
IN ACTIVITATEA DE REZOLVARE SI
COMPUNERE A PROBLEMELOR
Activitatea de rezolvare si compunere a problemelor ofera terenul cel mai fertil
din domeniul activitatilor matematice pentru cultivarea si educarea creativitatii
si a invetivitatii. Diferenta dintre a invata “rezolvarea unei probleme”
si “a sti” (a putea) sa rezolvi o problema noua inseamna,in esenta,
creativitate, dar de niveluri diferite. Rezolvarea unei probleme « invatate
» ofera mai putin teren pentru creativitate decat rezolvarea unei probleme
noi care, la randul ei, este depasita de alcatuirea unor probleme noi.
Aceasta nu inseamna ca in activitatea de rezolvare de probleme avem de-a face numai cu probleme creative, renuntand in totalitate la cele reproductive.
Opozitia dintre algoritm si euristic, dintre deprindere si abilitatea de rationament
este numai aparenta. Creativitatea gandirii, miscarea ei libera, nu se poate
produce decat pe baza unor deprinderi corect formate, stabilizate si eficient
transferate.
In rezolvarea problemelor, deprinderile si abilitatile se refera in special
la analiza datelor, a conditiei, la capacitatea de a intelege intrebarea problemei
si a orienta intreaga desfasurare a rationamentului in directia descoperirii
solutiei problemei.
In scopul cultivarii creativitatii, adica a gandirii, inteligentei si imaginatiei
elevilor in activitatea de rezolvare a problemelor se folosesc variate procedee, cum ar fi:
· Complicarea problemei prin introducerea de noi date sau prin modificarea
intrebarii.
· Rezolvarea problemei prin doua sau mai multe procedee.
VI. BIBLIOGRAFIE
1.METODICA PREDARII MATEMATICII LA CLASELE I-IV
AUTORI :
Lector univ. dr. IOAN NEACSU-coordonator
Prof. HORIA RADU
2. METODE PENTRU REZOLVAREA PROBLEMELOR DE
ARITMETICA
EXPUNERI-PRELEGERI-CONSULTATII
AUTOR:
Prof. CORIOLAN TEMPIAN
3.PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CLASELE 2-4
EDITURA DIDACTICA SI PEDAGOGICA -; BUCURESTI
4.MANUAL PENTRU CLASA a V-a
EDITURA DIDACTICA SI PEDAGOGICA -;BUCURESTI 1977
AUTORI:
Prof. MARIANA IANCU
Prof. ALINA BIRTA