x1g21gr

· Distanta dintre doua puncte
Distanta dintre doua puncte este segmentul de dreapta ce uneste cele doua puncte.

· Distanta de la un punct la o dreapta
Distanta de la un punct la o dreapta este lungimea perpendicularei duse din acest punct pe dreapta data.

· Distanta de la un punct la un plan
Prin distanta de la un punct M la un plan a, intelegem lungimea MN, unde NIa este piciorul perpendicularei duse din M pe a.

· Distanta dintre doua drepte paralele
Distanta dintre doua drepte paralele este distanta de la un punct de pe una din drepte la cealalta drepta.

· Distanta dintre doua plane paralele
Distanta dintre doua plane paralele este distanta de la un punct dintr-un plan la celalalt plan.

ü Observatie: Pentru calcularea distantei de la un punct la o dreapta construim perpendiculara din acel punct pe acea drepta si cautam un triunghi eventual dreptunghic in care aceasta distanta sa fie o latura sau linie importanta.
ü Observatie(2): Segmentul cel mai scurt de la un punct exterior unui plan la acel plan este segmentul perpendicular pe planul dat.

Aplicatii

1)
Ip. ?ABC isoscel
AB=AC=15cm, BC=18cm
AM^(ABC), AM=12

C. dist.(M, BC)=?

Dem.:
Ducem AD^BC, DIBC
AM^(ABC)
AD^BC T.3.^.
ADI(ABC) Þ MD^BC Þ dist.(M,BC)=MD
BCI(ABC)
?ABC isoscel Þ AD mediana Þ BDºDC Þ BD=DC=9
AD inaltime dar BC=18
AD^BC Þ ?ABD dreptunghic
Þ AD2=AB2-BD2
AD2=225-81
AD2=144
AD=12
AM^(ABC) Þ AM^AD Þ ?MAD dreptunghic
ADI(ABC)
Þ MD2=MA2+AD2
MD2=144×3+144
MD2=144×4
MD=24

2)
Ip. ?ABC dreptunghic( m(<A)=90°)
AM^(ABC), AM=3cm
AB=6cm, AC=6

C. dist.(M, BC)=?

Dem.:
Ducem AD^BC, DIBC
AM^(ABC)
AD^BC T.3.^.
ADI(ABC) Þ MD^BC Þ dist.(M,BC)=MD
BCI(ABC)
AM^(ABC) Þ AM^AD Þ ?MAD dreptunghic
ADI(ABC)
?ABC dreptunghic
Þ BC2=AB2+AC2
BC2=36+108
BC2=144
BC=12
AD^BC Þ AD inaltime Þ AD= Þ AD=
?ABC dreptunghic

Þ AD=
?MAD dreptunghic
Þ MD2=AM2+AD2
MD2=9+27
MD2=25
MD=5

3)
Ip. ABCD dreptunghi, AB=16cm, Bc=9cm
AM^(ABC), AM=12cm

C. dist.(M, AB)=? dist.(M, BC)=? dist.(M, CD)=? dist.(M, AD)=?

Dem.:
AM^(ABC) Þ MA^AD Þ dist.(M, AD)=AM=12
ADI(ABC)
AM^(ABC) Þ MA^AB Þ dist.(M, AB)=AM=12
ABI(ABC)
AM^(ABC) T.3.^.
AD^DC Þ MD^DC Þ dist.(M, DC)=MD
ADI(ABC)
DCI(ABC)
AM^(ABC) T.3.^.
AB^BC Þ MB^BC Þ dist.(M, BC)=MB
ABI(ABC)
BCI(ABC)
MA^AD Þ ?MAD dreptunghic Þ MD2=AM2+AD2
MD2=144+81
MD2=225
MD=15
MA^AB Þ ?MAB dreptunghic Þ MB2=AM2+AB2
MB2=144+256
MB2=400
MB=20

4)
Ip. ABCD dreptunghi(ACnBD=AOS), AB=32cm, BC=18cm
OM^(ABC), OM=12cm

C. dist.(M, AB)=? dist.(M, BC)=? dist.(M, CD)=? dist.(M, AD)=?

Dem.:
Ducem OE^AB, EIAB
OF^BC, FIBC
OG^DC, GIDC
OH^AD, HIAD
OM^(ABC) T.3.^
OE^AB Þ ME^AB Þ dist.(M, AB)=ME
OEI(ABC)
ABI(ABC)
OM^(ABC) T.3.^
OF^BC Þ MF^BC Þ dist.(M, BC)=MF
OFI(ABC)
BCI(ABC)
OM^(ABC) T.3.^
OG^CD Þ MG^AB Þ dist.(M, CD)=MG
OGI(ABC)
CDI(ABC)
OM^(ABC) T.3.^
OH^AD Þ MH^AD Þ dist.(M, AD)=MH
OHI(ABC)
ADI(ABC)
ABCD dreptunghi Þ AO=OC
BO=OD Þ ?AOB, ?BOC, ?COD, ?AOD isoscele
AC=BD
?AOB isoscel Þ OE mediana Þ AE=EB Þ AE=EB=16
OE inaltime AB=32
?BOC isoscel Þ OF mediana Þ BF=FC Þ BF=FC=9
OF inaltime BC=18
?COD isoscel Þ OG mediana Þ CG=GD Þ CG=GD=16
OG inaltime CD=32
?AOD isoscel Þ OH mediana Þ DH=HA Þ AH=HA=9
OH inaltime AD=18
OE^AB Þ AD¦EO
AD^AB Þ AEON paralelogram Þ OE=9
OE^AE Þ AE¦ON
OE^ON
OF^BC Þ AB¦OF
AB^BC Þ EBFO paralelogram Þ OF=16
OE^AB Þ OE¦BF
FB^AB
OG^DC Þ OG¦FC
FC^DC Þ OFCG paralelogram Þ OG=9
OF^BC Þ GC¦OG
GC^BC
ON^AD Þ ON¦GD
CD^AD Þ NOGD paralelogram Þ OE=16
ND^DC Þ ND¦OG
OG^DG
?MOE dreptunghic Þ ME2=OM2+OE2
ME2=144+81
ME2=225 Þ ME=15
?MOF dreptunghic Þ MF2=OM2+OF2
MF2=144+256
MF2=400 Þ MF=20
?MOG dreptunghic Þ MG2=OM2+OG2
MG2=144+81
MG2=225 Þ MG=15
?MOH dreptunghic Þ MH2=OM2+OH2
MH2=144+256
MH2=400 Þ MG=20