r4e20ef
• Distanta dintre doua puncte
Distanta dintre doua puncte este segmentul de dreapta ce uneste cele doua puncte.
• Distanta de la un punct la o dreapta
Distanta de la un punct la o dreapta este lungimea perpendicularei duse din
acest punct pe dreapta data.
• Distanta de la un punct la un plan
Prin distanta de la un punct M la un plan ?, intelegem lungimea MN, unde N??
este piciorul perpendicularei duse din M pe ?.
• Distanta dintre doua drepte paralele
Distanta dintre doua drepte paralele este distanta de la un punct de pe una
din drepte la cealalta drepta.
• Distanta dintre doua plane paralele
Distanta dintre doua plane paralele este distanta de la un punct dintr-un plan
la celalalt plan.
? Observatie: Pentru calcularea distantei de la un punct la o dreapta construim
perpendiculara din acel punct pe acea drepta si cautam un triunghi eventual
dreptunghic in care aceasta distanta sa fie o latura sau linie importanta.
? Observatie(2): Segmentul cel mai scurt de la un punct exterior unui plan la
acel plan este segmentul perpendicular pe planul dat.
Aplicatii
1)
Ip. ?ABC isoscel
AB=AC=15cm, BC=18cm
AM?(ABC), AM=12
C. dist.(M, BC)=?
Dem.:
Ducem AD?BC, D?BC
AM?(ABC)
AD?BC T.3.?.
AD?(ABC) ? MD?BC ? dist.(M,BC)=MD
BC?(ABC)
?ABC isoscel ? AD mediana ? BD?DC ? BD=DC=9
AD inaltime dar BC=18
AD?BC ? ?ABD dreptunghic
? AD2=AB2-BD2
AD2=225-81
AD2=144
AD=12
AM?(ABC) ? AM?AD ? ?MAD dreptunghic
AD?(ABC)
? MD2=MA2+AD2
MD2=144?3+144
MD2=144?4
MD=24
2)
Ip. ?ABC dreptunghic( m(<A)=90°)
AM?(ABC), AM=3cm
AB=6cm, AC=6
C. dist.(M, BC)=?
Dem.:
Ducem AD?BC, D?BC
AM?(ABC)
AD?BC T.3.?.
AD?(ABC) ? MD?BC ? dist.(M,BC)=MD
BC?(ABC)
AM?(ABC) ? AM?AD ? ?MAD dreptunghic
AD?(ABC)
?ABC dreptunghic
? BC2=AB2+AC2
BC2=36+108
BC2=144
BC=12
AD?BC ? AD inaltime ? AD= ? AD=
?ABC dreptunghic
? AD=
?MAD dreptunghic
? MD2=AM2+AD2
MD2=9+27
MD2=25
MD=5
3)
Ip. ABCD dreptunghi, AB=16cm, Bc=9cm
AM?(ABC), AM=12cm
C. dist.(M, AB)=? dist.(M, BC)=? dist.(M, CD)=? dist.(M, AD)=?
Dem.:
AM?(ABC) ? MA?AD ? dist.(M, AD)=AM=12
AD?(ABC)
AM?(ABC) ? MA?AB ? dist.(M, AB)=AM=12
AB?(ABC)
AM?(ABC) T.3.?.
AD?DC ? MD?DC ? dist.(M, DC)=MD
AD?(ABC)
DC?(ABC)
AM?(ABC) T.3.?.
AB?BC ? MB?BC ? dist.(M, BC)=MB
AB?(ABC)
BC?(ABC)
MA?AD ? ?MAD dreptunghic ? MD2=AM2+AD2
MD2=144+81
MD2=225
MD=15
MA?AB ? ?MAB dreptunghic ? MB2=AM2+AB2
MB2=144+256
MB2=400
MB=20
4)
Ip. ABCD dreptunghi(ACnBD=AOS), AB=32cm, BC=18cm
OM?(ABC), OM=12cm
C. dist.(M, AB)=? dist.(M, BC)=? dist.(M, CD)=? dist.(M, AD)=?
Dem.:
Ducem OE?AB, E?AB
OF?BC, F?BC
OG?DC, G?DC
OH?AD, H?AD
OM?(ABC) T.3.?
OE?AB ? ME?AB ? dist.(M, AB)=ME
OE?(ABC)
AB?(ABC)
OM?(ABC) T.3.?
OF?BC ? MF?BC ? dist.(M, BC)=MF
OF?(ABC)
BC?(ABC)
OM?(ABC) T.3.?
OG?CD ? MG?AB ? dist.(M, CD)=MG
OG?(ABC)
CD?(ABC)
OM?(ABC) T.3.?
OH?AD ? MH?AD ? dist.(M, AD)=MH
OH?(ABC)
AD?(ABC)
ABCD dreptunghi ? AO=OC
BO=OD ? ?AOB, ?BOC, ?COD, ?AOD isoscele
AC=BD
?AOB isoscel ? OE mediana ? AE=EB ? AE=EB=16
OE inaltime AB=32
?BOC isoscel ? OF mediana ? BF=FC ? BF=FC=9
OF inaltime BC=18
?COD isoscel ? OG mediana ? CG=GD ? CG=GD=16
OG inaltime CD=32
?AOD isoscel ? OH mediana ? DH=HA ? AH=HA=9
OH inaltime AD=18
OE?AB ? AD¦EO
AD?AB ? AEON paralelogram ? OE=9
OE?AE ? AE¦ON
OE?ON
OF?BC ? AB¦OF
AB?BC ? EBFO paralelogram ? OF=16
OE?AB ? OE¦BF
FB?AB
OG?DC ? OG¦FC
FC?DC ? OFCG paralelogram ? OG=9
OF?BC ? GC¦OG
GC?BC
ON?AD ? ON¦GD
CD?AD ? NOGD paralelogram ? OE=16
ND?DC ? ND¦OG
OG?DG
?MOE dreptunghic ? ME2=OM2+OE2
ME2=144+81
ME2=225 ? ME=15
?MOF dreptunghic ? MF2=OM2+OF2
MF2=144+256
MF2=400 ? MF=20
?MOG dreptunghic ? MG2=OM2+OG2
MG2=144+81
MG2=225 ? MG=15
?MOH dreptunghic ? MH2=OM2+OH2
MH2=144+256
MH2=400 ? MG=20