Prefata

Aceasta lucrare a fost realizata cu sprijinul corporatiei „Paul & Co.” si se adreseaza unor anumite categorii de persoane, si anume elevilor de liceu care doresc sa-si aprofundeze cunostintele in domeniul matematicii. De asemenea aceasta sinteza, scurta si la obiect, a functiei de gradul II este foarte utila elevului modern din ziua de astazi care nu se omoara cu invatatul si doreste sa faca intr-asa fel incat sa scape cat mai repede. Lucrarea de fata nu numai ca-l face sa retina esentialul intr-o perioada relativ scurta, ba chiar il poate atrage, si pe viitor, cu siguranta va rezerva mai mult timp studiului.

Cuprins

Partea teoretica…………………………………………………... pg 4 -; 8

Definitia functiei de gradul II. Exemple…………………………... pg 4 z7t7tx
Variatia functiei de gradul II si reprezentarea grafica……………... pg 4
Forma canonica……………………………………………………. pg 4
Maximul si minimul……………………………………………….. pg 5
Sensul de variatie (intervalele de monotonie)……………………... pg 5
Reprezentarea grafica a functiei patratice…………………………. pg 6
Trasarea curbei reprezentative a unei functii patratice……………. pg 7
Semnul functiei patratice………………………………………….. pg 8

Partea aplicativa…………………………………………………. pg 8 -; 9

A. Partea teoretica

1. DEFINITIA FUNCTIEI DE GRADUL AL DOILEA. EXEMPLE

Definitie. Fiind date numerele reale, a,b,c cu a¹ 0, functia f : R®R definita prin formula: f(x) = ax² + bx + c se numeste functie de gradul al doilea cu coeficientii a, b, c.

1) Deoarece domeniul si codomeniul functiei de gradul al doilea este R vom indica aceasta functie astfel: f(x) = ax² + bx + c sau y = ax² + bx + c
2) O functie de gradul al doilea f : R®R, f(x) = ax² + bx + c este perfect determinata cand se cunosc numerele reale a, b, c (a ¹ 0).
3) Trebuie sa observam ca in definitia functiei de gradul al doilea conditia a ¹ 0 este esentiala in sensul ca ipoteza a = 0 conduce la functia de gradul intai, studiata in clasa a VIII-a.
4) Denumirea de functie de gradul al doilea provine din faptul ca este definita prin intermediul trinomului de gradul al doilea aX² + bX + c.

Exemple de functii de gradul al doilea
1) f1 (x) = 7x² - 9x + 10, (a = 7, b = -9, c = 10);
2) f2 (x) = Ö2x² + Ö2x + 1, (a = Ö2, b = Ö2, c = 1);
3) f3 (x) = 0.51x² - 2x, (a = 0.51, b = -2, c = 0);
4) f4 (x) = x² + 0.31, (a = 1, b = 0, c = 0.31);
5) f5 (x) = -x² - 5x -; 0.31, (a = -1, b = -5, c = -0.31).

2. VARIATIA Si REPREZENTAREA GRAFICA A FUNCTIEI DE GRADUL AL DOILEA

Ø Forma canonica
Reamintim ca pentru orice x I R ax² + bx + c = aa(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a²i
Rezulta ca pentru orice x I R, avem f(x) = aa(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a²i (1)
Membrul drept al egalitatii (1) se numeste forma canonica a functiei patratice. Numarul ? = b² - 4ac, discriminantul ecuatiei asociate (ax² + bx + c = 0), se mai numeste discriminantul functiei patratice.
Observam ca f(-b/2a) = -?/4a
Exemple a) 2x² - x + 3 = 2ax² - 1/2x + 3/2i = 2ax² - 2*x*1/4x + 1/16 - 1/16 + 3/2i = 2a(x -1/4)² + 23/16i = 2(x -; 1/4)² + 23/8; b) -3x² - 4x + 5 = (-3)ax² + 4/3x - 5/3i = (-3)ax² + 2*2/3x + 4/9 - 4/9 - 5/3i = (-3)a(x + 2/3)² - 19/9i = (-3)(x +2/3)² + 19/3

Ø Maximul si minimul
Exemple a) f : R®R, f(x) = 2x² - x - 3. Avem f(x) = 2(x - 1/4)² + 23/8, " x I R, deci f(1/4) = 23/8 si f(x) ³ f(1/4), " x I R.
Rezulta ca 23/8 este cea mai mica valoare sau minimul functiei f pe R. b) f : R®R, f(x) = -3x² - 4x + 5. Avem f(x) = -3(x +2/3)² + 19/3, " x I R, deci f(-2/3) = 19/3 si f(x) £ f(-2/3), " x I R
Rezulta ca 19/3 este cea mai mare valoare sau maximul functiei f pe R.
In general, avand in vedere forma canonica a functiei patratice f(x) = ax² + bx + c si faptul ca f(-b/2a) = -?/4a, rezulta ca pentru orice x I R f(x) - f(-b/2a) = a(x + b/2a)²
Constatam ca semnul diferentei din membrul stang depinde de semnul numarului a, deci pentru orice x I R avem: o daca a > 0, f(x) ³ f(-b/2a), deci f admite un minim pe R; o daca a < 0, f(x) £ f(-b/2a), deci f admite un maxim pe R;

Fie functia f : R®R, f(x) = ax² + bx + c, a ¹ 0. o Daca a > 0, minimul functiei f pe R este -;?/4a = f(-b/2a) iar punctul de minim este -;b/2a. o Daca a < 0, maximul functiei f pe R este -;?/4a = f(-b/2a) iar punctul de maxim este -;b/2a.

Ø Sensul de variatie (intervalele de monotonie)
Exemplu. Vom studia intervalele de monotonie ale functiilor g si h definite pe R, g(x) = |x - 2| + 3 si h(x) = -|x + 3| + 1. Avem: g(x) = x + 1, x ³ 2 h(x) = -x - 2, x ³ -3
-x + 5, x < 2 x + 4, x < -3

Functia g are minimul in punctul x = 2 (g(x) ³ g(2), adica |x - 2| + 3 ³ 3 sau |x - 2| ³ 0, " x I R) si este strict descrescatoare pe (-8; 2i, strict crescatoare pe a2; + 8).

Functia h are maximul in punctul x = -3 (h(-3), " x I R) si este strict crescatoare pe (-8; -3i, strict descrescatoare pe a-3; + 8).

Fie functia f : R®R, f(x) = ax² + bx + c, a ¹ 0.
Daca a > 0, atunci f are minim pe R si vom arata ca se comporta analog cu functia g. Daca a < 0, atunci f are un maxim si vom arata ca se comporta analog cu functia h.
Fie u, v I R, u ¹ v. Raportul de variatie asociat lui f si numerelor u, v este
(f(u) -; f(v))/(u-v) = (au² + bu - av² - bv)/(u - v) = a(u + v) + b
Sa studiem semnul raportului de variatie in cazul a > 0.
Daca u, v I (-8; -b/2ai, atunci din u £ -b/2a, v £ -b/2a, rezulta u + v £ -b/a sau a*(u + v) + b £ 0. Avem a*(u + v) + b = 0 ? u = v = -b/2a, situatie care nu poate avea loc, deoarece prin ipoteza u ¹ v. Rezulta a*(u + v) + b < 0, deci in cazul a > 0, f este strict descrescatoare pe (-8; -b/2ai.
Daca u, v I a-b/2a; + 8), deducem analog a(u + v) + b > 0, deci in cazul a > o, f este strict crescatoare pe a-b/2a; + 8).
In mod analog se studiaza cazul a < 0.

Fie functia f : R®R, f(x) = ax² + bx + c, a ¹ 0. o Daca a > 0, atunci functia f atinge minimul in punctul -;b/2a si este: strict descrescatoare pe (-8; -b/2ai, strict crescatoare pe a-b/2a; + 8); o Daca a < 0, atunci functia f atinge maximul in punctul -;b/2a si este: strict crescatoare pe (-8; -b/2ai, strict descrescatoare pe a-b/2a; + 8).

Ø Reprezentarea grafica a functiei patratice
Consideram un reper in plan. Reprezentarea grafica a functiei f : R®R, f(x) = ax² + bx + c, a ¹ 0, adica multimea punctelor M (x, y) ale caror coordonate verifica relatia y = ax² + bx + c, este o curba numita parabola. Vom nota aceasta curba prin Cf.

A. Conditia ca un punct din plan sa apartina curbei Cf
Fie M (p, q) un punct din plan. Punctul M (p, q) apartine curbei Cf daca si numai daca q = f(p), deci q = ap² + bp + c.
Daca q ¹ ap² + bp + c, atunci Cf nu trece prin M (p, q).
Punctul V(-b/2a, -?/4a) apartine curbei Cf pentru ca -?/4a = f(-b/2a) si se numeste varful parabolei.
Exemple
· A (2, -3) I Cf Þ -3 = 4a + 2b + c; B (-1, 0) I Cf Þ 0 = a - b + c.
· a + b + c = 0 Þ C (1, 0) I Cf ; a - b + c = 2 Þ D (-1, 2) I Cf.

B. Axa de simetrie a curbei Cf
Fie o functie f : R®R. Dreapta de ecuatie x = h este axa de simetrie pentru curba reprezentativa a functiei f daca f(h + x) = f(h - x), " x I R.
Daca are loc relatia f(-x) = f(x), " x I R (avem h = 0), atunci curba este simetrica in raport cu axa Oy si f este o functie para.
Functia patratica f : R®R, f(x) = ax² + bx + c, a ¹ 0 verifica relatia f(-b/2a + x) = f(-b/2a - x), " x I R. ceea ce se poate demonstra direct sau utilizand forma canonica.

Curba reprezentativa a functiei f : R®R, f(x) = ax² + bx + c, a ¹ 0 admite ca axa de simetrie dreapta de ecuatie x = -b/2a.
In particular, daca b = 0, f(x) = ax² + c este o functie para.

C. Intersectia curbei Cf cu axele de coordonate
Se stie ca Ox = A(x, y)|x I R, y = 0S, iar Oy = A(x, y)| x = 0, y I RS.
Rezulta:
M (x, y) I Cf Ç Ox Û y = ax² + bx + c si y = 0 Û ax² + bx + c = 0 si y = 0.
M (x, y) I Cf Ç Oy Û y = ax² + bx + c si x = 0 Û x = 0 si y = c.
Dupa cum ? = b² - 4ac este strict pozitiv, nul sau strict negativ, ecuatia ax² + bx + c = 0 are doua solutii reale x1 si x2, o singura solutie reala x = -b/2a, respectiv nici o solutie reala.

In consecinta:
· daca ? > 0, Cf Ç Ox =AA(x1, 0), B (x2, 0)S;
· daca ? = 0, Cf Ç Ox =AA (-b/2a, 0)S;
· daca ? < 0, Cf Ç Ox =Ø.
De asemenea, reprezentarea grafica a oricarei functii patratice intersecteaza axa Oy, si anume
Cf Ç Oy = AC(0, c)S
Pentru c = 0, curba asociata functiei f(x) = ax² + bx trece prin originea reperului.

Ø Trasarea curbei reprezentative a unei functii patratice
Pentru a reprezenta grafic o functie patratica f : R®R, f(x) = ax² + bx + c, a ¹ 0 adica pentru a trasa curba sa reprezentativa Cf , numita parabola, se procedeaza dupa cum urmeaza.
1) Se determina si se inscriu intr-un tabel de variatie coordonatele unui numar finit de puncte ale curbei Cf , printre care este bine sa se afle:
ü punctele de intersectie ale curbei cu axele reperului;
ü punctul V (-b/2a, -?/4a), varful parabolei.
2) Se reprezinta aceste puncte intr-un reper al planului, ales astfel incat sa putem figura toate punctele.
3) Se unesc punctele reprezentate printr-o curba continua, tinand cont de:
ü Intervalele de monotonie ale functiei patratice;
ü Simetria curbei Cf in raport cu dreapta de ecuatie x = -b/2a.
Cu ajutorul curbei astfel obtinute, putem obtine o buna aproximare a coordonatelor oricarui punct al curbei Cf.

Ø Semnul functiei patratice
I. Cazul ? > 0

x -8 x1 x2 + 8 f(x) semn a 0 semn contrar a 0 semn a

II. Cazul ? = 0

x -8 -b/2a + 8 f(x) semn a 0 semn a

III. Cazul ? < 0

x -8 + 8 f(x) semn a

B. Partea aplicativa

1) Sa se construiasca tabelul de variatie si reprezentarea grafica a urmatoarei functii f : R®R, f(x) = x² - 4x + 3 (? > 0, a > 0)

x -¥ 0 1 2 3 + ¥
F(x) 3 0 -1 0

2) x² - 2x -; 8 = (x - 1)² - 9 f.c. = aa(x - b/2a)² - ?/4a²i x² - 2x - 8 = a(x - 1)² - 36/4i = (x + 1)² - 9
? = 4 + 32 = 36

3) f : R®R f(x) = px² - (p² - 6)x + p² - 1 = min x, x = 5/2 p > 0 y (min) = f(5/2) = -?/4a f(5/2) = p(5/2)² - (p² - 6)*5/2 + p² - 1
= -3/2p² - 25/4p + 14
? = p4 -; 12p² + 36 -; 4(p³ - p) =
= -12p² - 4p³ + p4 + 4p + 36 =
-?/4a = (12p² + 4p³ - p4 - 4p - 36)/4p
-p4 + 4p³ + 12p² - 4p -; 36 = 4p(-3/2p² + 25/4p + 14)
-p4 + 4p³ + 12p² - 4p -; 36 = -6p³ + 25p² + 56p
-p4 + 4p³ + 12p² + 6p³ - 25p² - 60p - 36 = 0
-p4 + 10p³ - 13p² - 60p - 3 = 0 p4 - 10p³ + 13p² + 60p + 36 = 0
P(-2): 16 + 80 + 52 - 120 + 36 = 0
Se descompune polinomul din stanga ecuatiei, in factori de gradul II si se egaleaza cu factorii cu 0. Ecuatia se scrie (p² - 5p - 6)² = 0
Þ p² - 5p - 6 = 0 Þ p1 = 6; p2 = -1

4) f : R®R f(x) = 2x² - 3x + 1 f(x) I a-1/8, + ¥), (") x I R a = 2 Þ a > 0 Þ min minf = -?/4a = -(b² - 4ac)/4a = -(9 - 8)/8 = -1/8

5) f : R®R f(x) = x² - 8x + 12
Ç Ox: y = 0 Þ x² - 8x + 12 = 0
? =64 -; 48
= 16 Þ Ö? = 4 x1 = (-b + Ö?)/2a = (8 + 4)/2 = 6 ÞA (6, 0) x2 = (-b - Ö?)/2a = (8 - 4)/2 = 2 Þ B (2, 0)
Ç Oy: x = 0 Þ y = 12 Þ C (0, 12) a = 1, a > 0 Þ xmin = 8/2 = 4 ymin = -?/4a = -1 Þ V (4, -1) x -1 0 2 4 6 7 f(x) 21 12 0 -1 0 5

INSEMNARI