O lista completa de operatii de simetrie indeplineste criteriile cerute de un grup matematic . k9o15of
Prin set complet de operatii de simetrie se intelege un set in care orice produs posibil dintre doua operatii din set este de asemenea o operatie din set .
Totalitatea elementelor de simetrie proprii moleculei formeaza un grup , un asa numit grup punctual de simetrie .
O a doua cerinta sa existe un element din grup , E , astfel ca pentru oricare element X din grup , E·X=X·E=X este de asemenea satisfacuta .
Produsele operatiilor de simetrie sunt asociative .
Ultima cerina ca fiecare element din gruo sa aiba un invers este indeplinita .
Pentru reflexia printr-un plan s , inversa este tot s si s xs = s2 = E
Pentru o axa proprie Cnm inversa este Cnn-m , deoarece Cnm · Cnn-m = E .
In concluzie seturile complete de operatii constituie grupuri .In caz ca nu exista alt element de simetrie decat E , avem un grup de ordinul 1 numit C1 .
Exista si grupuri care au mai multe elemente de simetrie .

Principalele tipuri de grupuri punctuale de simetrie

Daca molecula nu are nici un element de simetrie , singura operatie de simetrie posibila este operatia de identitate .Avem de-a face cu un grup de ordinul 1 format din elementul E .Grupurile se noteaza conventional cu simbolurile Schonflies .Grupul amintit se noteaza cu simbolul C1 .
Molecula avand doar un plan s , care genereaza operatiile s si E .Acest grup de ordinul 2 se noteaza cu simbolul Cs .
Molecula care are numai un centru de inversiune face parte din grupul Ci , format din elementele i si E .
Daca molecula are doar o axa ciclica Cn , aceasta genereaza n operatii de rotire. Simbolul grupului ciclic de ordinul n este Cn .
Grupul de simetrie generat de o axa Sn poate fi de diferite tipuri , in functie de paritatea lui n .
Daca n este par , Sn genereza n operatii care formeaza un grup de ordinul n .Simbolul grupului este Sn cu exceptia grupului de ordinul 2 cand se foloseste notatia Ci .
Daca n este impar , molecula poseda atat o axa Cn cat si un plan sn .Numarul operatiilor este 2n , iar simbolul este Cnh .
Molecula avand o axa Cn si plane de simetrie verticale , numarul acestora va fi n .Daca n este impar , cele n plane sn vor fi echivalente , apartinand aceleiasi clase .Daca n este numar par , apar doua clase de plane sv cu cate n/2 elemente .
Planele echivalente dintr-o clasa se noteaza cu sv , iar cele din cealalta clasa sunt plane diedrice deoarece ele bisecteaza unghiul diedric format de doua plane sv .
Simbolul lor este sd .
Grupul cotine 2n operatii si se noteaza cu simbolul Cnv .
Daca molecula are pe langa axa Cn si axe C2 perpendiculare pe aceasta numarul lor va fi n .Pentru n numar impar cele n axe C2 sunt echivalente , iar daca n este par , ele formeaza doua clase de cate n/2 elemente .Grupul contine 2n operatii si se noteaza cu Dn .
Daca la elementele grupului Dn se mai adauga un sh rezulta grupul Dnh format din 4n elemente . Avem cele n operatii generate de Cn , n operatii C2 , o operatie sh , iar printre produsele operatiilor de mai sus apar n plane sv , deoarece
C2 · sh = sh · C2 =sv
Exista cateva grupuri speciale dintre care grupurile infinite si cele cubice .Dintre cele doua grupuri infinite fac parte moleculele liniare care au toate o axa ciclica C8 coliniara cu axa moleculei . Aceasta axa infinita genereza o infinitate de operatii de rotire . Toate planele ce trec prin aceasta axa sunt plane de simetrie , deci moleculele liniare au o infinitate de plane sv .

Daca molecula nu are alte elemente de simetrie ea apartine grupului C8v. Moleculele liniare mai pot avea si un plan de simetrie perpendicular pe axa moleculei .
Dintre grupurile cubice , cele mai importante sunt grupul tetraedrului si cel al octaedrului .
Tetraedru .
Grupul de simetrie Td .
Fete : 4 triunghiuri echilaterale .Varfuri : 4 . Muchii : 4 .Operatii de simetrie in numar de 24 , formeaza urmatoarele clase in felul urmator :
E,8C3 , 3C2 , 6S4 ,6sd .

Octaedru .
Grupul de simetrie Oh.
Fete : 8 triunghiuri echilaterale .Varfuri : 6 . Muchii : 12 .Operatii de simetrie in numar de 48 , formeaza urmatoarele clase in felul urmator :
E,8C3 , 6C4 ,6C2 ,3C2(=C42)I , 6S4 ,8S6 , 3sh , 6sd .

Pentru a determina carui grup de simetrie apartine o molecula folosim urmatoarele reguli :
1) Molecula nu are nici o axa de simetrie .In acest caz putem avea urmatoarele situatii :
-molecula nu are nici un alt element de simetrie si deci apartine grupului C1.
- molecula are un plan de oglindire s si deci apartine grupului Cs .
- molecula are un centru de simetrie I si deci apartine grupului Ci .
2) Molecula are o axa Cn .In acest caz putem avea urmatoarele situatii :
- molecula nu are alte elemente de simetrie si deci apartine grupului Cn .
- molecula are un plan de oglindire orizontal sn si atunci apartine grupului Cnh .
- molecula area un plan de oglindire vertical sv si atunci apartine grupului Cnv.
3) Molecula are pe langa o axa principala de rotatie Cn cel putin inca o axa C2.
In acest caz avem urmatoarele situatii :
- molecula nu are nici un plan de simetrie si in acest caz apartine grupului Dn .
- molecula are si un plan de oglindire orizontal sn si in acest caz apartine grupului Dnh .
4) Molecula are o axa S2n .
In acest caz putem avea urmatoarele situatii :
- molecula nu are nici un plan de oglindire verticala si in acest caz apartine grupului S2n .
-molecula area plan de oglindire verticala sd si in acest caz apartine grupului Dnd .
5) Molecula are mai multe axe de rotatie Cn cu n=3 .In acest caz se cauta daca apartine grupului Td sau Oh .
6) Molecula prezinta o axa principala de rotatie C8 .In acest caz putem avea urmatoarele situatii :
- molecula nu are un plan de oglindire si apartine grupului C8v .
- molecula are plan de simetrie sn si atunci apartine grupului D8n .
7) Atomii apartin grupului Kh .
Studiul proprietatilor de simetrie ale atomilor si moleculelor fiind efectat prin intermediul diverselor proprietati ale grupurilor punctuale carora le apartin atomi sau moleculele respective sunt necesare cunostinte asupra proprietatilor grupurilor si in primul rand cunostinte asupra proprietatilor algebrice ale acestora .
In studiul proprietatilor algebrice ale grupului un rol important il joaca notiunea de subgrup .
Fie G un grup si H o submultime a lui G .
Fie in G o lege de compozitie p : GxG?G si fie in H o lege de compozitie q :HxH ?H .
Se spune ca H este un subgrup al lui G daca el este un grup fata de legea de compozitie q si daca pentru oricare a , b € H avem : q(a , b) = p(a , b)
Conditia ca intr-un grup G in care vom nota legea de compozitie cu ,, ? ” , doua elemente X si Y sa apartina unui subgrup H este ca daca X , Y€ H sa avem X?Y-1 € H .
Un subgrup H al lui G se numeste subgrup ciclic daca el este generat de un singur element h € H .
Se numeste omomorfism al unui grup G intru-un grup G’ orice aplicatie f : G? G’ care satisface conditia : f( X ? Y) = f(X) ? f(Y)
Fie un grup G si X , Y € G . Daca in G exista conditia X= a?y?a-1 elementele X si Y se numesc conjugate .
Doua elemente conjugate cu un al treilea element sunt conjugate intre ele .
Fie X=a?y?a-1 si Y=b?z?b-1 rezulta X=a?b?z?b-1?a-1 = a?b?z?(a?b)-1
Un element este conjugat cu el insusi caci X=e?x?e-1
O multime G inzestrata cu legea de compozitie este un grup si poarta denumirea de produs al grupului G1 si G2 si se noteaza cu G= G1 x G2 .
Un astfel de produs a doua grupuri poate fi definit de exemplu luand ca grupuri G1 , G2 , doua subgrupuri oarecare ale unui grup G.
Daca subgrupurile G1 , G2 ale grupului G se bucura de proprietatile urmatoare :
1) - G1n G2 = e , elementul neutru din G
2) - In G elementele lui G1 comuta cu elementele lui G2 si reciproc
3) - G1 x G2 = G , adica orice x € G se poate scrie ca produs x = x1 ? x2 unde x1 € G si x2 € G2 atunci produsul G1 x G2 are un nume special si anume de produs direct .
Daca avem n grupuri G1 , G2 ……. Gn astfel ca :
- G1 n G2 = e ; G1 n G3 = e ; ……..G1n Gn = e
- elementele grupului G1……..Gn comuta
- G1 x G2 x……….Gn = G , adica oricare ar fi x € G , se poate scrie ca x = x1 ? x2 ? …….? xn cu x1 € G1 , x2 € G2 ………xn € Gn atunci grupul G se numeste produs direct al grupurilor G1 , G2 …….Gn si se noteaza G = G1 A G2 A ………A Gn
O reprezentare in baza A Qk S a grupului G , aratandu-se ca aceasta este o reprezentare redusa constituie principiul aplicarii teoriei grupurilor la studiul vibratiilor , reducerea unei reprezentari fiid echivalenta cu transformarea bazei Aqi S in baza A Qk S .
Grupurile punctuale de transformari de simetrie carora le apartin reactantii in reactiile periciclice pot fi C2 , C3 sau C2n .
Modul de transformare al orbitalilor moleculari implicati in reactiile periciclice la actiunea transformarilor din unul din grupuri , poate fi studiat pe baza reprezentarilor grupului respectiv in baza formata din orbitalii moleculari .
Presupunem ca in baza A j1……j2 S grupul G are reprezentarea G care poate fi reductibila sau ireductibila .
Grupurile C1 , C3 , C2n nu au decat reprezentari ireductibile unidimensionale si anume : A si B la C2 , A’ , A’’ la C3 , A1 , A2 , B1 , B2 la C2n .
Caracterul unei astfel de reprezentari nu poate fi decat +1 sau -;1 .

Notatii matriciale pentru operatii de simetrie

Operatiile de simetrie dintr-o molecula pot fi descrise printr-o matrice .
Identitatea
Prin relatia de identitate un punct de coordonate x ,y,z isi pastreaza coordonatele initiale :

=
Reflexiile
Alegand ca plan de reflexie un plan principal in coordonate cartesiene (xy , yz, xz ) , reflexia unui punct schimba semnul coordonatei perpendiculara pe plan si lasa neschimbate cele doua coordonate care definesc planul .Reflexia poate fi reprezentata astfel :

s(xy) : s(xz)
= =
Analog si pentru s(yz) .
Inversiunea
Pentru simpla schimbare a coordonatelor , fara permutarea lor trebuie introdusa matricea unitara negativa .
=

Mai intalnim la grupurile de simetrie si proprietatea de rotatie proprie si rotatie improprie .
Studiul grupurilor este asadar legat pentru chimie de studiul proprietatilor de simetrie ale atomilor si moleculei . Pe baza proprietatilor de simetrie se pot explica cu ajutorul grupurilor o serie de regularitati in spectrele de emisie si absorbtie ale atomilor si moleculelor , diverse comportamente ale unor molecule in reactii chimice , se pot efectua mai comod o serie de calcule privind atomii sau moleculele .
De aici rezulta si importanta studiului teoriei grupurilor pentru chimisti .
Utilizarea grupurilor pentru caracterizarea simetriei are la baza faptul ca transformarile de simetrie care efectate asupra unei molecule , nu o modifica , formeaza din punct de vedere matematic , ceea ce se numeste un grup .
Acest fapt este important pentru chimisti numai in masura in care teoria grupurilor este un instrument .