Perpendiculara comuna a doua drepte din spatiu

Daca a,b sunt doua drepte necoplanare, atunci exista o dreapta unica perpendicualra atât pe a cât si pe b , care le întâlneste pe amândoua.


1) Existenta


Fie a,b 2 drepte necoplanare
Fie Pa ,prin P duc b’ la b. Consider =(a,b’)
Duc ab={M}
Fie MNa (Na) este dreapta cautata.

b’ b
b’b’ b Dar MNa (constructie)


a.î (MNaba,b necoplanare




2) Unicitatea

ii) P.p.a ca (drepte cu un punct comun (MN si NP ) a.î
(MNa)(MNb)
(PNa)(PNb)



NMb
NP b => Dintr-un punct din spatiu am dus pe o dreapta 2 perpendiculare =>F


=>(a.î (MNa)b







Fie AA’ perpendiculara comuna a dreptelor necoplanare d,d’ si Md, M’d’ a.î (AM)(A’M’). Sa se afle locul geometric al mijlocului segmentului [MM’].

Rezolvare

1.Gasirea locului


Fie  a.î d
Fie =(AA’,d’); AA’ 
AA’d  AA’
d
=d’’
Prin A’ duc d’’’d => (d’’’,d)=
Duc M’M’’
  M’’  M’’d’’
M’ ={d’’}

Fie MM’’’d’’’ (M’’’d’’’)
M’M’’’MM’’ MM’’’M’’M’=paralelogram
M’’’Md M’’’MAA’M’’M’
AA’  d

Fie S a.î [M’S][SM]
P a.î [M’P][PM’’’]
Q a.î [M’’Q][QM]
[PQ] M’’M’  [PQ] [AA’]

(PQ,AA’)= plan mediator pentru diedrul (,)
AA’d
AA’d’’  AA’(d,d’’)
A(d,d’’)  AQ(d,d’’) AA’AQ
Q(d,d’’) AA’PQ 
AA’PQ=dreptunghi
Fie ’=[AA’,M si ’=[AA’,M’
Pt M’=A’ si M=A , Ol.g
Unim pe O cu S (mijloacele a 2 laturi paralele în dreptunghi )
OSAA’ si OS PQ

2. () Nd si N’d’ a.î A’N’=AN si NS’=N’S’ => OS’AA’ si OS’=OS


Se construieste dreptunghiul A’P’Q’A situat în planul mediator al diedrului (,)
Analog ca la punctul anterior.
OS’A’A
OS’=OS (pe o dreapta (AA’) din plan (planul mediator), pe un punct (O) se poate duce o singura perpendiculara)
l.g al mijlocului segmentului MM’ este o dreapta perpendiculara pe AA’ în mijlocul ei , situata în planul mediator al diedrului (,)

3.Fie S’’ planului mediator al diedrului (,), S’’OAA’  [A’T’][AT] T,T’ sunt coturile paralelogramuli în care S’’ e mijlocul diagonalei TT’

A’P”AQ” A’P”Q”A dreptunghi (analg dem. anterioara)
[T’P”][P”T’’’] (plan mediator)
△T’A’P’’△T’’’A’P’’ T’A’A’T’’’
A’T’’’TA  T’A’TA
l.g este format din reuniunea a doua drepte perpendiculare ce trec prin mijlocul segmentului [AA’],situate în planul mediator al planelor determinte de cele doua drepte (d,d’) si paralelele duse la fiecare din ele prin piciorul perpendicularei comune.