CUPRINS

NOTIUNI TEORETICE……………………………..2 m1r4rr
Derivata unei functii intr-un punct 2
Operatii cu functii derivabile. Derivatele unor functii uzuale ..5
Proprietatile functiilor derivabile ………………………...10

APLICATII …………………………………………..……18

Notiuni teoretice

? I. Derivata unei functii intr-un punct

I.0o Originea notiunii de derivata

Au existat doua probleme, una fizica - modelarea matematica a notiunii intuitive de viteza a unui mobil - si alta geometrica - tangenta la o curba plana -, care au condus la descoperirea notiunii de derivata. Am folosit de mai multe ori referiri la viteza unui mobil, dar abia acum vom putea da definitia matematica a acestui concept.

I.1o Definitia derivatei unei functii intr-un punct

Fie o functie ƒ : E ? R (E R) si , x0 punct de acumulare al multimii E. Retinem ca ƒ este definita in x0.

DEFINITIA 1:
1) Se spune ca ƒ are derivata in punctul x0, daca exista ( in ) notata cu ƒ’(x0);
2) Daca derivata ƒ’(x0) exista si este finita se spune ca functia ƒ este derivabila in x0.

Observatii. 1. Se poate intampla ca ƒ’(x0) sa existe si sa fie .
2.Trebuie remarcat ca problema existentei derivatei sau a derivabilitatii nu se pune in punctele izolate ale multimii E (daca E are astfel de puncte!).
Presupunem ca ƒ’(x0) exista; facand translatia x -; x0 = h, atunci din relatia de definitie rezulta ca

DEFINITIA 2:
Daca o functie ƒ: E ? R este derivabila in orice punct al unei submultimi F E, atunci se spune ca ƒ este derivabila pe multimea F. In acest caz, functia F ? R, x ? ƒ’(x) se numeste derivata lui ƒ pe multimea F si se noteaza cu ƒ’. Operatia prin care ƒ’ se obtine din ƒ se numeste derivarea lui ƒ.

TEOREMA 1. Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.
Demonstratia este simpla: Presupunem ca ƒ: E ? R este derivabila in punctul x E, deci limita din definitia 1 exista si este finita.

In general reciproca teoremei este falsa. Un exemplu este functia modul in origine.
In studiul existentei limitei unei functii intr-un punct un criteriu util l-a constituit egalitatea limitelor laterale. Adaptam acest criteriu la studiul derivabilitatii unei functii intr-un punct, tinand cont ca existenta derivatei implica in fond existenta unei anumite limite.

DEFINITIA 3.
Fie E R si x0 E un punct de acumulare pentru E . Daca limita

exista (in R barat ), atunci aceasta limita se numeste derivata la stanga a functiei ƒ in punctul x0.Daca , in plus, aceasta limita exista si este finita, atunci se spune ca ƒ este derivabila la stanga in punctul x0.
In mod similar se definesc derivata la dreapta si notiunea de functie derivabila la dreapta in x0.

TEOREMA 2. Daca ƒ: E ? R este derivabila in punctul x0 E, atunci ƒ este derivabila la stanga si la dreapta in x0 si
Reciproc, daca ƒ este derivabila la stanga si la dreapta in x0 si daca , atunci ƒ este derivabila in x0 si
Daca E=a a, bi, faptul ca ƒ este derivabila in a (respectiv b) revine la aceea ca ƒ este derivabila la dreapta in punctul a (respectiv la stanga in b).
Exemplu : Pentru ƒ : R?R, ƒ(x) =| x |, avem

Similar se obtine ca: , regasim ca ƒ nu este derivabila in punctul x = 0.

I.2o Interpretarea geometrica a derivatei

Daca ƒ: (a, b)?R este o functie derivabila intr-un punct x0 (a, b), atunci conform relatiilor graficul lui ƒ are tangenta in x0 (sau mai corect in punctul (x0, ƒ(x0)), anume dreapta de ecuatie

Asadar ƒ’(x0) este coeficientul unghiular al tangentei la graficul lui ƒ, in punctul (x0,ƒ(x0)). Daca ƒ’(x0)= (in sensul ca limita din definitie este infinita), atunci tangenta in (x0, ƒ(x0)) este paralela cu axa Oy.
Fara nici o dificultate , se poate vorbi de semitangenta la dreapta sau la stanga intr-un punct la un grafic, in legatura cu derivatele laterale respective in acel punct. Geometric, pentru o functie derivabila intr-un punct, directiile semitangentelor la dreapta si stanga la grafic in acel punct coincid.
Daca intr-un punct x0, ƒ este continua si avem (sau invers), atunci punctul x0 se numeste punct de intoarcere al graficului lui ƒ.

Daca o functie ƒ: E ? R (E R) este continua intr-un punct x0 E, daca exista ambele derivate laterale, cel putin una dintre ele fiind finita, dar functia nu este derivabila in x0, atunci se spune ca x0 este punct unghiular al graficului lui ƒ (fig.2.). Intr-un punct unghiular cele doua semitangente, la stanga si la dreapta, formeaza un unghi a

Exemple :
Pentru functia ƒ(x) = , scriem ecuatia tangentei in punctul x0 = 1.
Avem si ecuatia ceruta este
(fig. 3).

? II. Operatii cu functii derivabile. Derivatele unor functii uzuale

Am intalnit deja exemple de functii derivabile. Este utila o sinteza a derivatelor functiilor uzuale si se impune stabilirea unor reguli generale de derivare a sumelor, produselor, compunerilor etc. de functii derivabile.

II.1o Derivatele catorva functii uzuale

a) Orice functie constanta ƒ: R ? R, ƒ(x)=c este derivabila pe R, cu derivata nula

(1).

b) Functia putere ƒ: R ? R, ƒ(x) = xn ( n real si x > 0) este derivabila pe R si ƒ’(x)=nxn-1.

(2).

c) Functia logaritmica ƒ: (0, ) ? R, ƒ (x) = ln x este derivabila pe domeniul de definitie si are derivata

(3).

d) Functiile trigonometrice ƒ, g: R ? R, ƒ( x ) = sin x, g( x )=cos x sunt derivabile pe R si pentru orice x avem

(sin x)’ = cos x
(cos x)’= -sin x

Demonstratiile tuturor acestor derivate se fac usor folosind definitia derivatei.

II.2o Reguli de derivare

In continuare aratam ca pentru functii ca ƒ, g : E?R derivabile, E R, functiile ƒ + g, ƒ-g, fg etc. au aceeasi proprietate.

TEOREMA 3. Presupunem ca ƒ, g sunt derivabile in punctul x0 E si o constanta.
Atunci :
(a) suma ƒ + g este derivabila in x0 si

(b) ?ƒ este derivabila in x0 si

(c) produsul ƒg este o functie, derivabila in x0 si

Demonstratia se face de asemenea usor folosind definitia derivatei.
Generalizand se obtine urmatorul

COROLAR. Daca ƒ1, ƒ2,…ƒk sunt functii derivabile in punctul x0, atnuci suma ƒ1 + ƒ2 + … +ƒk, respectiv produsul ƒ1ƒ2…ƒk sunt derivabile in x0 si, in plus:

si

TEOREMA 4. Presupunem ca ƒ si g sunt derivabile in x0 si ca . Atunci functia -; cat este derivabila in x0 si, in plus :

II.3o Derivarea unei functii compuse si a inversei unei functii

Trecem acum la stabilirea altor doua teorema generale de derivare, relativ la compunere si inversare. Deosebit de importanta este formula de derivare a functiilor compuse. In acest sens, are loc

TEOREMA 5. Fie I, J intervale si doua functii. Daca ƒ este derivabila in punctul x0 I, si g este derivabila in punctul y0=ƒ(x0), atunci functia compusa G= g ƒ este derivabila in x0 si G’(x0) = g’(y0)f’(x0). Daca ƒ este derivabila pe I, g este derivabila pe J, atunci g f este derivabila pe I si are loc formula :

Demonstratie. Avem de aratat ca

Consideram functia ajutatoare F:I?R, definita prin

Functia F este continua in punctul y0 deoarece

Pe de alta parte, pentru orice x x0 avem

Intr-adevar daca f(x) = ƒ(x0), atunci ambii termeni sunt nuli, iar daca ƒ(x) ƒ(x0), atunci ƒ(x) y0 si, conform functiei ajutatoare , deci relatia precedenta este dovedita in ambele cazuri. Observand ca F(f(x))?F(f(x0)=F(y0)=g’(y0) si trecand la limita (x?x0) relatia precedenta rezulta ca

TEOREMA 6. Fie ƒ: I ?J o functie continua si bijectiva intre doua intervale. Presupunem ca ƒ este derivabila intr-un punct x0 I si ƒ’(x0) 0, atunci inversa g=f-1 este derivabila in punctul y0=f(x0) si, in plus,

Demonstratie. Mai intai trebuie sa punem conditia pentru ca limita ; y y0. Din faptul ca y y0 rezulta ca x x0 si, in plus,
.
Trecand la limita cand y?y0, rezulta ca g(y)?g(y0) adica x?x0 si ultimul raport tinde catre . Primul raport din relatia de mai sus va avea limita, deci functia g este derivabila in punctul y0. Ceea ce trebuia de demonstrat.

Aceasta teorema se foloseste la aflarea derivatelor unor inverse de functii. Cum ar fii arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.

II.4o Derivatele functiilor uzuale si a regulilor de derivare

I. Reguli de derivare

1.
2.
3.
4.
II. Tabloul de derivare al functiilor elementare
Functia Derivata Domeniul de derivabilitate c(constanta) 0 R x 1 R xn nxn-1 R xr, r real rxr-1 cel putin ln x ex ex R ax axln a R sin x cos x R cos x -sin x R tg x cos x ctg x sin x arcsin x (-1, 1) arccos x (-1, 1) arctg x R arcctg x R

Toate aceste derivate se demonstreaza usor folosind definitia derivatei si teorema 6. Teorema de derivare a functiilor compuse impreuna cu tabloul anterior permite obtinerea urmatoarelor formule utilizate (unde u = u(x) este o functie derivabila).

Tabloul de derivare al functiilor compuse

Functia Derivata Domeniul de definitie u u’ un nun-1u’ ur rur-1u’ u>0 u>0 ln u u>0 eu euu’ au au(ln a) u’ sin u u’cos u cos u -u’sin u tg u cos u ctg u sin u arcsin u u2<1 arccos u u2<1 arctg u arcctg u

Adaugam ca daca u, v sunt functii derivabile si u > 0, atunci functia uv = evlnu are derivata formula care rezulta aplicand teorema de derivare a functiilor compuse functiei evlnu si tinand cont ca

? III. Proprietatile functiilor derivabile

In continuare vom da metode de determinare a punctelor de maxim si minim, a intervalelor de monotonie, a intervalelor de convexitate etc. ale unei functii, in care rolul derivatelor este esential.
Unele din teoremele care urmeaza sunt intuitiv evidente (folosind de regula interpretare geometrica a derivatei) si demonstratiile pot fi la inceput omise, insistand pe intelegerea enunturilor.

III.1o Puncte de extrem. Teorema lui Fermat

Intr-o serie de probleme tehnice sau economice, si bineinteles matematice, este important de stiut care sunt maximele si minimele anumitor marimi variabile. Dupa ce problemele capata o formulare matematica, adeseori ele se reduc la determinarea punctelor de extrem ale anumitor functii. Sunt necesare in prealabil cateva definitii precise.

DEFINITIA 4:
Fixam o functie ƒ : A?R (A R). Un punct x0 A se numeste punct de maxim relativ (respectiv de minim relativ) al lui ƒ daca exista o vecinatate U a punctului x0 astfel incat pentru orice x U A sa avem
(respectiv ).

In acest caz valoarea ƒ(x0) se numeste un maxim (respectiv un minim) relativ al lui ƒ.
Punctele de maxim sau de minim relativ se mai numesc puncte de extrem relativ. Daca inegalitatile din definitie sunt stricte se spune ca x0 este un punct de extrem strict. Valorile functiei in punctele ei de extrem relativ se mai numesc extremele relative ale functiei.
Observatii.
1) Functia considerata trebuie sa fie neaparat cu valori reale.
2) Trebuie tinut cont de faptul ca o functie poate sa aiba mai multe puncte de maxim si de minim relativ, iar un minim sa fie mai mare decat un maxim, ceea ce justifica faptul ca punctele de maxim si de minim sunt „relative” (fig. 3, c).Valorile calculate se mai numesc extremele globale ale lui ƒ pe A..
Punctele de extrem relativ se mai numesc puncte de extrem local, deoarece inegalitatile de tipul celor din definitie sunt verifica te nu neaparat pe intreg domeniul de definitie al functiei ƒ ci numai un jurul lui x0.
3) Daca marginea M= este atinsa pe multimea A, atunci orice punct x astfel incat ƒ(x0)=M va fi un punct de maxim (nu neaparat strict). O situatie analoaga (cu sensul inegalitatii schimbat) are loc pentru marginea inferioara si pentru punctele de minim.
Daca marginea superioara nu este atinsa pe multimea A, atunci se poate spune ca functia nu are puncte de maxim (fig. 4).

Teorema 7. (teorema lui P. Fermat, 1601- 1665). Fie I un interval deschis si x0 I un punct de extrem (relativ) al unei functii ƒ: I®R. Daca ƒ este derivabila in punctul x0, atunci ƒ’(x0)=0.
Demonstratie. Presupunem ca x0 este un punct de maxim (cazul minimului se trateaza la fel sau se reduce la cazul precedent considerand functia -;ƒ). Atunci exista o vecinatate U a lui x0 (si putem presupune ca U I) astfel incat pentru orice .
Cum ƒ este derivabila in x0, atunci f’(x0)= si ƒ’(x0)= Conform ultimei inegalitati de pe pagina alaturata raportul este £ 0 (respectiv ³ 0) pentru x U, x > x0 (respectiv pentru x U, x < x0), deci f’(x0) £ 0, f’(x0) ³ 0, de unde f’(x0) = 0.
Observatii. 1) Daca nu ar fi fost interval deschis, de exemplu I=aa, bi si x0=a (sau x0=b), atunci teorema nu ar fi fost adevarata pentru ca ƒ(x) nu ar fi fost definita pentru x< a, respectiv pentru x > b (fig. 5 a).
2) Reciproca teoremei lui Fermat este in general falsa: din faptul ca ƒ este derivabila intr-un punct x0 si ƒ’(x0)=0 nu rezulta ca x0 este punct de extrem. De exemplu, pentru functia ƒ(x)=x3 avem ƒ’(0)=0, dar punctul x0=0 nu este punct de extrem local pentru ca ƒ este strict crescatoare (fig. 5 b). Se mai spune ca teorema lui Fermat da conditii necesare de extrem, dar nu si suficiente.

y y y
ƒ
ƒ y=x3

0
0 a b x x 0 x

a. b c.

Fig 5.

Teorema lui Fermat are o interpretare geometrica evidenta : in conditiile enuntului, intr-un punct de extrem, tangenta la grafic este paralela cu axa Ox ( fig. 5 c).
Daca ƒ: I®R este o functie derivabila pe un interval deschis I, atunci zerourile derivatei ƒ’ pe I sunt numite si puncte critice ale lui ƒ pe I; teorema lui Fermat afirma ca punctele de extrem local sunt printre punctele critice. In practica, pentru determinarea punctelor de extrem ale unei functii ƒ derivabile pe un interval deschis sau pe o reuniune de intervale deschise, se rezolva mai intai ecuatia ƒ(x)=0. Vom vedea mai tarziu cum putem decide care din solutiile acestei ecuatii sunt puncte de extrem pentru ƒ.

4.2 Teorema lui Rolle

O functie ƒ: aa, bi ®R (a< b) se numeste functie Rolle daca este continua pe intervalul compact aa, bi si derivabila pe intervalul deschis (a, b).
Teorema care urmeaza este o consecinta a rezultatelor privind functiile si a teoremei lui Fermat, foarte utila in aplicatii.
Teorema 8. (teorema lui M. Rolle, 1652- 1719). Fie ƒ: aa, bi® R a< b o functie Rolle astfel incat ƒ(a)= ƒ(b), atunci exista cel putin un punct c (a, b) astfel incat ƒ’(c)=0.
Demonstratie. Functia ƒ fiind continua (conform teoremei lui Weierstrass) este marginita si isi atinge marginile in aa, bi. Fie m= M= .
Apar trei cazuri :
I. M> ƒ(a). Exista un punct c aa, bi astfel incat M=ƒ(c) (M fiind atinsa) si, evident, c a, a b (daca c= a sau b, atunci M= ƒ(c) ar fi egal cu ƒ(a)= ƒ(b), absurd); asadar, c (a, b) si cum c este maxim local, atunci conform teoremei lui Fermat ƒ’(c)=0.

II. m< ƒ(a). Similar.
III. m= M. Atunci functia ƒ este constanta pe aa, bi, deci ƒ’(c)=0 pentru orice c (a, b).
COROLAR. Intre doua zerouri ale unei functii derivabile pe un interval se afla cel putin un zerou al derivatei.
Demonstratie. Fie ƒ: I®R derivabila pe un interval I si a, b I, a< b, zerouri ale lui ƒ. Atunci ƒ(a)=0=ƒ(b) si putem aplica teorema lui Rolle pe intervalul aa, bi.
Teorema lui Rolle admite o interpretare geometrica evidenta: daca segmentul determinat de punctele (a, ƒ(a)), (b, ƒ(b)) este paralel cu axa Ox, atunci exista cel putin un punct intre a si b in care tangenta la graficul lui ƒ este paralela cu axa Ox (fig. 6).
Observatii. Toate conditiile din enuntul teoremei lui Rolle sunt necesare, in sensul ca daca s-ar renunta la vreuna din ele, atunci concluzia nu ar mai fi intotdeauna adevarata. a) Daca ƒ ar fi continua numai pe intervalul deschis (a, b), exemplul functiei arata ca ƒ’ nu se anuleaza pe intervalul (0, 1) desi ƒ(0)=ƒ(1). (fig. 7). b) Daca ƒ(a) ƒ(b), este suficient sa consideram functia ƒ(x)= x pe a0, 1i (fig 8). c) Daca ƒ nu ar fi derivabila pe intreg intervalul (a, b), concluzia teoremei ar fi falsa, asa cum arata exemplul functiei ƒ(x)=| x | pe intervalul a-1, 1i.

4.3 Teorema lui Lagrange si teorema lui Cauchy.

TEORAMA 9. (teorema lui J. Lagrange, 1736- 1813, a cresterilor finite). Fie ƒ o functie Rolle pe un interval compact aa, bi. Atunci c (a, b) astfel incat
ƒ(b)- ƒ(a)= (b- a)ƒ’(c)
Demonstratie. Vom considera functia auxiliara F(x)=ƒ(x)+kx, x aa, bi, cu k o constanta reala , pe care o vom determina din conditia F(a)= F(b). Asadar avem ca,

y y y

ƒ 1 1

y= x y= x

ƒ(a)=ƒ(b)

0 a c b x 0 1 x 0 1 x

Fig 6. Fig 7. Fig 8.

ƒ(a)+ ka= ƒ(b)+ kb, deci k= . Pentru acest k, functia F verifica conditiile teoremei lui Rolle si, ca atare, exista un punct c (a, b) in care F’(c)=0. Pe de alta parte , F’(x)=ƒ’(x)+k, x (a, b), deci ƒ’(c)+ k= 0, ƒ’(c)+ = 0 si se obtine relatia din enunt.

Observatii. 1) Relatia din enunt y se mai numeste formula cresterilor finite sau formula de medie pentru derivabilitate ). Notand q= rezulta 0< q< 1 si c= a+ q(b- a)ƒ’(a+ q(b- a)), cu 0< q< 1.

2) Ca si in cazul teoremei lui Rolle, ƒ punctul c nu este unic. Interpretarea geometrica a teoremei lui Lagrange rezulta din interpretarea geometrica a derivatei si 0 a c b x este urmatoarea: exista cel putin un punct c(a, b) pentru care tangenta la graficul lui ƒ in Fig 9.
(c, ƒ(c)) este paralela cu „coarda” determinata de punctele (a, ƒ(a)), (b, ƒ(b)) (fig 9).
3) Putem aplica teorema lui Lagrange restrictiei lui ƒ la orice subinterval aa, xi aa, bi, unde a< x£ b. Atunci ƒ(x)- ƒ(a)= (x-a)ƒ’(c) cu a (a, x) nu neaparat unic, depinzand de x; uneori se scrie c= cx, ca atare, ƒ(x)- ƒ(a)= x- a)ƒ’(cx). Este important de remarcat ca daca x® a, atunci cx® a.

Iata acum un corolar al teoremei lui Lagrange, care este util in a decide derivabilitatea unei functii intr-un punct.
COROLAR. Fie ƒ o functie definita intr-o vecinatate V a punctului x0, derivabila pe V\Ax0S si continua in x0. Daca exista limita , atunci ƒ’(x0) exista si ƒ’(x0)=l. Daca limita este finita, atunci ƒ este derivabila in x0.
Demonstratie. Aplicand teorema lui Lagrange functiei ƒ pe un interval ax, x0i V, x< x0, rezulta =ƒ’(cx) cu x< cx< x0,, deci (caci cx®x0, daca x®x0, x<x0). In mod similar, exista si este egala cu l, deci ƒ are derivata in x0 si ƒ’(x0)=l.

Trecem acum la demonstrarea unei alte proprietati fundamentale legete de derivabilitate. Fie doua functii ƒ, g:aa, bi®R verificand conditiile teoremei lui Lagrange si presupunem ca g’(x) 0, x (a, b). Ne intereseaza raportul . Aplicand separat functiilor ƒ si g teorema lui Lagrange, rezulta ca exista puncte c, c’ din (a, b) astfel incat . Nu exista nici un motiv sa consideram aici ca avem c= c’; totusi se poate demonstra..
TEOREMA 10. (teorema lui Cauchy). Fie ƒ, g doua functii Rolle pe intervalul compact aa, bi, a< b, astfel incat g’(x) 0, x (a, b); atunci exista un punct c (a, b) astfel incat

Demonstratie. Conditia g’(x) 0 pentru orice x (a, b) implica faptul ca g(a) g(b); intr-adevar, daca g(a)=g(b), aplicand teorema lui Rolle , ar rezulta ca exista c (a, b) astfel ca g’(c)=0, ceea ce contravine ipotezei.
Consideram functia ajutatoare F(x)=ƒ(x)+kg(x), k R si determinam k astfel ca F(a)=F(b), deci k= . Aplicand teorema lui Rolle functiei F cu k astfel determinat, exista c (a, b) astfel incat F’(c)=0. Dar F’(x)=F’(x)+kg’(x), x (a, b), deci ƒ’(c)+kg’(c)=0, -k= , de unde se obtine relatia ce trebuia demonstrata.
Observatie. Am fi putut mai intai sa demonstram teorema lui Cauchy si apoi, pentru g(x)=x, am fi demonstrat teorema lui Lagrange..
In cele ce urmeaza, vom indica o proprietate importanta a functiilor care admit primitive, deci care sunt derivate ale altor functii.
TEOREMA 11. (teorema lui Darboux).Daca ƒ: I®R este o functie derivabila pe un interval I, atunci derivata sa ƒ’ are proprietatea lui Darboux (adica nu poate trece de la o valoare la alta fara a trece prin toate valorile intermediare).

Demonstratie. Fie a<b doua puncte din I astfel incat f’(a)=ƒ’(b). Pentru a fixa ideile, sa presupunem ca ƒ’(a)<ƒ’(b). Fie l (ƒ’(a), ƒ’(b)). Trebuie aratat ca exista un punct c (a, b) astfel incat ƒ’(c)=l. Pentru aceasta vom considera functia auxiliara F(x)=ƒ(x)-lx; evident, F’(a)=ƒ’(a)-l<0 si F’(b)=ƒ’(b)-l>0.
Functia F este derivabila, deci continua in intervalul aa, bi si, ca atare, marginea inferioara m= F(x) este atinsa, intr-un punct c aa, bi. Vom arata ca de fapt m nu poate fi atins nici in a, nici in b. Asadar, c (a, b) si din teorema lui Fermat se obtine F’(c)=0. Dar aceasta arata ca f’(c)-l=0, adica ƒ’(c)=l, tocmai ce trebuia verificat.
Pentru a arata ca punctul c apartine intervalului (a, b), vom proceda astfel: alegem e>0 astfel incat |F’(a)|>e si F’(b)>e. Din definitia derivatei lui F in punctele a si b, exista d>0 depinzand de e astfel incat din faptul ca |x- a|>d (respectiv |x- b|>d ) sa rezulte ca

Deoarece F’(a)+e<0, raportul va fi strict negativ, pentru orice x> a, x-a<d. Deci F(x)-(a)<0, adica F(x)<F(a). In mod analog, din inegalitatea F’(b)-e>0, rezulta ca F(x)<F(b) pentru x< b, x- b<d. Aceste inegalitati arata ca marginea inferioara a functiei F nu este atinsa nici in a, nici in b.

COROLAR. Fie ƒ: I®R o functie derivabila pe un interval I. Daca derivata ƒ’ nu se anuleaza pe I, atunci ƒ’ are semn constant pe I.

Intr-adevar, daca ƒ’ nu ar avea semn constant pe I, atunci ƒ’ ar lua valori pozitive si valori negative pe I, deci, conform teoremei lui Darboux, ar lua valoarea zero, ceea ce contravine ipotezei ca ƒ’ nu se anuleaza pe I.

Aplicatii. Functii derivabile

x1. Subiecte date la admitere in invatamantul superior si bacalaureat (M. E. Panaitopol).

P1. Fie functia ƒ: R ®R, ƒ(x)= max (x2- 2x- 3, x- 5 ) pentru orice x R..

1). Sa se studieze continuitatea lui ƒ
2). Sa se studieze derivabilitatea lui ƒ.
Chimie, Constanta 1997
Solutie :

Caz I.
ƒ este continua pe intervalul deoarece , fiind un polinom de gradul 2, este elementara , si orice functie elementara este continua.
Caz II.
ƒ de asemenea este continua pe intervalul deoarece este un polinom de gradul 1.
In continuare studiem derivabilitatea in x= 1 si x= 2. Pentru ca ƒ sa fie derivabila in cele doua puncte trebuie ca , respectiv .

Din relatiile de mai sus rezulta ca ƒ nu este derivabila in punctele x= 1 si in x= 2.
Daca R-A1,2S rezulta ca ƒ este derivabila deoarece este elementara .

Caz I.

Caz II.

Prin urmare derivata functiei din enunt este :

P2. Se da functia ƒ: D®R prin ƒ(x)= . Se cere sa se determine domeniul maxim de definitie D apoi sa se studieze continuitatea si derivabilitatea functiei ƒ pe acest domeniu. In ce puncte ƒ nu este derivabila?
Stiinte economice, Cluj Napoca 1995
Solutie:

Conditiile de existenta a functiei sunt :

. Domeniul maxim de definitie este D= .
. De aici rezulta ca ƒ este continua ca fiind o suma de compuneri de functii elementare. Pe ƒ il mai putem scrie astfel :
.
=> . ƒ este derivabila deoarece este o compunere de functii elementare.
In continuare studiem derivabilitatea in x=8.

Prin urmare ƒ nu este derivabila in x=8.

P3. Daca ƒ: (-a, a)®(0,+ ) cu a>0 este o functie derivabila cu derivata ƒ’ continua si ƒ(0)=1.Sa se arate ca: .
Matematica, Sibiu, 1996

Solutie :

Pentru a arata ca relatia din enunt este adevarata pentru ƒ(0)=1 ne folosim de urmatoarea formula

P4. Se considera functia ƒ: (0,+ )®R, ƒ(x)= unde a R si b R. Sa se determine a si b astfel incat functia sa fie derivabila in x= e.
A. S. E., 1995

Solutie :

Pentru ca ƒ sa fie derivabila in e trebuie ca ƒ sa fie continua in e. Adica,
.
=> ae+ b= 1ób= 1- ae
Pentru ca ƒ sa fie derivabila in e trebuie ca :

=>
=> a= ó b=1- e ó b=-2.
Prin urmare pentru ca ƒ sa fie derivabila in e trebuie ca a= si b= -2.
P5. Fie a R, ƒ: R®R o functie continua in a. Sa se arate ca functia g: R®R, g(x)=|x-a| f(x) pentru orice x R, este derivabila in a daca si numai daca ƒ(a)=0.
Matematica, Constanta,1997

Solutie :
Explicitam functia g

Pentru ca functia g sa fie derivabila in a trebuie ca
=> óf(a)= 0, ceea ce este evident.
P6. Fie ƒ: R® R data prin : ƒ(x)= .Sa se determine parametrii reali a, b, c astfel incat ƒ sa fie derivabila de doua ori pe R si pentru valorile gasite sa se calculeze ƒ’.
Colegiul de Informatica, Cluj Napoca, 1996

Solutie :

Pentru ca ƒ sa fie derivabila de doua ori pe R trebuie sa fie continua. ƒ este continua pe R-A0S deoarece este compunere de functii elementare. Pentru ca ƒ sa fie continua in punctul o trebuie ca
=> c=1
Daca ƒ este continua pe R* atunci este si derivabila .In continuare studiem derivabilitatea in punctul 0. ƒ este derivabila in punctul 0 ó .
=> b= -1
Caz I. x£0

Caz II. x>0

Conform celor doua cazuri derivata functiei este :

.Pentru ca functia sa fie de doua ori derivabila pe R trebuie ca .
=> a= .
Dupa aflarea lui a, b , c functia devine
.

P7. Sa se arate ca :

Matematica, Pitesti, 1996

Solutie :
Consideram cele doua cazuri , cand x=1 si cand x 1.
Caz I. x=1
Se obtine suma primelor n numere naturale care se demonstreaza prin inductie matematica: .
Caz II. x 1
.Derivand aceasta relatie se obtine , tocmai ce era de demonstrat.

P8. Fie ƒ:a-1, 1i®R o functie care verifica relatia x£ f(x)£ x+ x2, oricare ar fi x a-1,1i. Aratati ca ƒ este derivabila in origine si calculati ƒ’(0).
Matematica, Iasi, 1990

Solutie : x 0 => 0£f(0)£0 => f(0)=0; x>0 => ó ó ; x<0 => ó
P9. Fie ƒ: R®R, ƒ(x)= . Sa se calculeze derivata de ordinul n a functiei ƒ, n N*.
Academia Tehnica Militara, 1996

Solutie :
Fie ƒ1(x)= si ƒ2(x)= .

Presupunem ca pentru k³ 2 si demonstram ca

Analog se calculeaza si derivata de ordinul n a functiei f2 care este


P10. Sa se arate ca nu exista nici un polinom, a carui restrictie la intervalul a0, 1i sa fie egala cu functia ƒ:a0, 1i®R data de ƒ(x)= ln(1+ x).
Invatamant economic 1981

Solutie :
Presupunem ca exista P= a0xn+ a1xn-1+…+an Raxi astfel incat restrictia sa la a0, 1i sa coincida cu functia ƒ. Deoarece P este un polinom de grad n, derivata sa de ordin (n+1) este nula, P(n+1)(x)=0 pentru orice x a0, 1i.

Presupunem ca :

P11. Sa se arate ca au loc inegalitatile :

Matematica, Brasov, 1990

Solutie :

Fie f(x)=sin x: care verifica conditiile teoremei lui Rolle, deci putem spune ca este o functie Rolle. Aplicand teorema lui Lagrange rezulta ca

P12. Verificati aplicabilitatea teoremei lui Lagrange pentru functia ƒ:aa, bi®R, a, b>0, definita prin ƒ(x)=1+xlnx si demonstrati inegalitatile

Informatica, Iasi 1996

Solutie :

=> ƒ este continua pe aa, bi si derivabila pe (a, b) fiind o compunere de functii elementare.
Aplicand teorema lui Lagrange rezulta ca


Cum a< c< b rezulta ca
.