CENTRUL MASELOR. CENTRUL DE GREUTATE

1. Greutatea corpurilor. Centrul de greutate. Centrul maselor

La suprafata pamantului actioneaza un camp gravitational care se manifesta prin faptul ca orice corp de masa m este actionat de o forta verticala orientata in jos, avand modulul:

                      (1.69)

unde: - intensitatea campului gravitational terestru, numita si acceleratie gravitationala.

g 9,81 m/s²                                                                           (1.70)

Fie un sistem de puncte materiale A_i de mase m_i. Greutatile lor sunt un sistem de forte paralele; greutatea sistemului va fi:

                     (1.71)

Pentru un sistem discret de puncte materiale A_i de mase m_i si vectori de pozitie , in raport cu originea O a unui sistem de axe, suportul rezultantei a fortelor de greutate , trece prin centrul vectorilor paraleli (pct. C - fig.1.22).

Punctul C se mai numeste si centrul de greutate al sistemului.

Vectorul de pozitie al centrului de greutate va fi:

(1.72)

sau

Din relatia (4) se observa ca centrul de greutate (prin pozitia sa) nu depinde de intensitatea campului gravitational, fapt care justifica si denumirea sa de centrul maselor.

Centrul maselor poate fi definit in raport cu un sistem de referinta fix sau mobil, prin vectorul de pozitie .

2. Momente Statice

Proiectiile vectorului pe axele sistemului de referinta Ox, Oy, Oz, formeaza coordonatele centrului de masa: x h z

      (1.73)

Prin: - se inteleg momentele statice ale sistemului de puncte materiale in raport cu planurile: yOz, zOx, xOy.

Momentul static al unui sistem de puncte materiale in raport cu un plan (P), reprezinta suma produselor dintre masele punctelor si distantele corespunzatoare ale acestora pana la planul (P).

Deci:

- momentul static al sistemului de puncte materiale in raport cu planul yOz, deoarece distantele x_i reprezinta pozitiile punctelor A_i pana la planul P.

- momentul static al sistemului de puncte materiale in raport cu planul zOx; distantele y_i reprezinta pozitiile punctelor A_i pana la planul P.

- momentul static al sistemului de puncte materiale in raport cu planul xOy; z_i reprezinta distantele de la punctele A_i pana la planul P.

Coordonatele x_i, y_i, z_i sunt pozitive atunci cand punctele A_i se gasesc in semispatiile pozitive ale axelor Ox, Oy, Oz si negative atunci cand punctele A_i se gasesc in semispatiile negative ale axelor Ox, Oy, Oz.

Daca M  este masa intregului sistem de puncte materiale, iar C - centrul maselor definit prin vectorul de pozitie in raport cu un sistem de referinta cartezian, atunci:

                             (1.74)

(1.75)

Teorema generala a momentelor statice:

Momentul static al unui sistem de puncte materiale in raport cu un plan este egal cu produsul dintre masa intregului sistem si distanta de la centrul de masa al sistemului la acel plan.

Lema: Daca momentul static al unui sistem de puncte materiale in raport cu un plan este nul, centrul de greutate al sistemului se gaseste in acel plan.

In cazul in care sistemul de puncte materiale se afla intr-un plan (planul xOy):

- momentul static in raport cu axa Ox

- momentul static in raport cu axa Oy.

3. Proprietatile centrului maselor

Daca un sistem de puncte materiale are un plan, o axa sau un centru de simetrie, centrul maselor se afla in acel plan, pe acea axa sau in acel centru.

Din definitia pozitiei centrului de masa =>

(1.76)

Daca

C I Oz => C(0,0,z

C º => C(0,0,0) (1.77)

Daca un sistem de puncte materiale (s) se compune dintr-un numar p de subsisteme: (S₁), (S₂), (S_p) de mese: M₁, M₂,, M_p si centre de masa: C₁, C₂,, C_p cunoscute, atunci pozitia centrului de masa al sistemului va fi:

(1.78)

unde: - vectorii de pozitie ai centrelor maselor subsistemelor C_i (i =1,2,,p)

Daca un sistem de puncte materiale (S) este considerat ca rezultand dintr-un sistem (S₁) din care a fost eliminat un subsistem (S₂), pentru care se cunosc masele M₁ si M₂, respectiv pozitiile centrelor de masa C₁ si C₂, atunci pozitia centrului de masa C al sistemului (S) se determina cu relatia:

         (1.79)

4. Centrul de masa al corpurilor omogene

Corp material omogen: un sistem format dintr-un numar infinit de puncte materiale.

Continuum material: un corp material omogen, in interiorul caruia orice volum oricat de mic este umplut de materie.

Fie un volum elementar de material ΔV_i ; notam cu Δm_i masa sa, iar centrul de masa C_i va avea vectorul de pozitie .

Vectorul de pozitie al centrului de masa al sistemului va fi:

                 (1.80)

la limita: ΔV_i →

Δm_i → 0     sumele devin integrale:

n → ¥

(1.81)

(1.82)

Coordonatele centrului de masa vor fi:

(1.83)

unde: - vectorul de pozitie (respectiv coordonatele lui M, un punct oarecare de masa dm luat in calcul)

, , - momentele statice ale corpului in raport cu planele yOz, zOx, xOy.

Fie:

(1.84)

(1.85)

- momentele statice pentru continuumul material

5. Masa specifica. Centre de greutate geometrice

Pentru un volum elementar ΔV de masa Δm, masa specifica medie sau  densitatea specifica medie va fi:

                       (1.86)

la limita:

         (1.87)

(1.88)

Pentru un corp omogen, pozitia centrului de greutate este:

(1.89)

Coordonatele centrului de greutate vor fi:

(1.90)

Cazuri particulare

Pentru corpul avand o dimensiune mult mai mica decat celelalte doua (placa), densitatea superficiala (de suprafata) va fi:

(1.91)

dA - aria unui element de placa

Pentru cazul placii omogene (r_A=ct.) =>

(1.92)

In cazul in care una din dimensiuni (lungimea) este mult mai mare decit celelalte doua, corpul se numeste bara, iar densitatea se numeste densitate liniara.

(1.93)

dS - lungimea unui element de bara

Pentru cazul barei omogene (ρ_l ct.) =>

(1.94)

In expresiile coordonatelor centrului de greutate al barelor sau placilor plane, respectiv pentru orice corp omogen, intervin numai elemente geometrice (volume, arii, lungimi) si nu masa corpului; de aici notiunea de centru de greutate geometric.

6. Aplicatii

1. Bara omogena dreapta

Centrul de greutate al barei va fi la mijlocul acesteia (in centrul de simetrie).

2. Bara omogena curba in forma de arc de cerc

unde: x - abscisa unui punct oarecare luat in calcul

• pentru sfertul de cerc:
• arcul semicircular:

3. Placa plana omogena dreptunghiulara

Punctul de intersectie al diagonalelor este centrul de simetrie al placii dreptunghiulare, deci este si centrul de greutate.

4. Placa plana omogena triunghiulara

Se considera un triunghi oarecare ABD.

Centrul de greutate al triunghiului se afla la intersectia medianelor (C), adica la 2/3 din inaltime (2/3h) de varful triunghiului si 1/3 din inaltime (1/3h) de baza triunghiului.

Coordonatele centrului de masa C, din geometria analitica, vor fi

5. Placa plana omogena in forma unui sector de cerc

Cazuri particulare:

pentru sfertul de cerc:

pentru placa semicirculara:

pentru placa circulara:

6. Placi plane omogene compuse

Se cere pozitia centrului de greutate

unde:

A₁ = 4a·2a = 8a²

A₂ = a·2a·1/2 = a²

A₃ = π/4·(2a)² = π·a²

Centrele de greutate ale fiecarei figuri

C₁ - la intersectia diagonalelor dreptunghiului ACFD => C₁(2a,a)

C₂ - la intersectia medianelor triunghiului ABC

Deci: A=A₁-A₂+A₃=7a²+πa²=a²(7+π

C₃ - se afla pe bisectoarea unghiului FDE

=>