STATICA SISTEMELOR DE PUNCTE MATERIALE SI A SISTEMELOR DE CORPURI

Sisteme de puncte materiale

Se da un sistem de puncte materiale A_i (i = 1, 2,.,n). Se dau vectori de pozitie ai acestor puncte materiale in raport cu originea O a unui sistem de referinta fix: F_i (i = 1, 2..,n). Sistemul de puncte materiale are 3n grade de libertate in spatiu. Sistemele de puncte materiale supuse la legaturi au un numar m de relatii scalare independente intre coordonatele punctelor, ce substituie legaturile. In acest caz, numarul gradelor de libertate al sistemului scade cu numarul relatiilor m:

N = 3n - m (1.119)

unde: N - numarul gradelor de libertate ale sistemului de puncte materiale.

Fortele care actioneaza asupra sistemului de puncte materiale sunt (fig.1.34):

Forte exterioare

forte active (direct aplicate):(i = 1, 2,,n)

forte de legatura exterioare sistemului de puncte materiale

Forte interioare

fortele de legatura dintre punctele sistemului

aceste forte sunt egale, au aceeasi directie si sensuri contrare, doua cate doua

sau:      (1.120)

Calcului momentului unei perechi de forte interioare:

(1.121)

2. Echilibrul Sistemelor de Puncte Materiale

Un sistem de puncte materiale este in echilibru daca fiecare punct material este in echilibru si reciproc.

Echilibrul punctului din sistemul de puncte materiale: Rezultanta fortelor care actioneaza asupra sa este nula;

sau:      (1.122)

pentru  i = 1, 2,.,n

i ¹ j

Relatiile (1.122) sunt echivalente cu 3n ecuatii scalare.

Exista doua categorii de probleme privind echilibrul sistemului de puncte materiale:

Se dau pozitiile punctelor ce formeaza sistemul de puncte materiale la echilibru si se cer fortele care actioneaza asupra sistemului;

Se dau fortele care actioneaza asupra sistemului si se cere pozitia de echilibru a acestuia.

3. Echilibrul Sistemelor de Corpuri

Corpul rigid: sistem nedeformabil de puncte materiale. Sistemul de corpuri rigide, poate fi format din C_i (i = 1, 2,..,n) corpuri rigide.

Fortele care actioneaza asupra sistemului de rigide pot fi:

forte exterioare sistemului de corpuri;

forte interioare ce reprezinta interactiunea reciproca dintre diferitele puncte ale corpurilor C_i.

Teorema izolarii corpurilor

Un sistem de corpuri se afla in echilibru daca fiecare corp al sistemului, considerat ca un subsistem rigid se afla in echilibru.

4. Teorema Solidificarii. Teorema echilibrului partilor

Conditia de echilibru a punctului material (i) apartinand sistemului de puncte materiale:

(1.123)

Pentru n puncte materiale, insumam relatia anterioara si obtinem:

(1.124)

Inmultim relatia (1.125) cu Þ

(1.125)

Pentru n puncte materiale, fortele interioare respecta relatiile:

(1.126)

Tinand cond de relatia (1.126), relatia (1.125) si (1.124) devin:

(1.127)

Teorema solidificarii:

pentru sistem de puncte materiale

Un sistem de puncte materiale aflat in echilibru sub actiunea fortelor direct aplicate este considerat ca un sistem rigid de puncte materiale (nedeformabil).

pentru sisteme de corpuri

Un sistem de corpuri rigide aflate in echilibru sub actiunea fortelor exterioare direct aplicate, poate fi considerat ca un sistem rigid de corpuri.

Teorema echilibrului partilor

Daca un sistem de puncte materiale se afla in echilibru sub actiunea unor forte aplicate, atunci o parte a sistemului considerata ca subsistem rigid este de asemenea in echilibru sub actiunea fortelor corespunzatoare acelei parti.

Rezolvarea unei probleme de statica sistemelor de corpuri:

prin izolarea corpurilor si scriind ecuatiile de echilibru pentru fiecare corp in parte;

aplicand teorema solodificarii si teorema echilibrului partilor simultan, scriind pentru fiecare caz ecuatiile de echilibru corespunzatoare.

Aplicatie

Se considera sistemul din figura, barele AC si CE legate intre ele prin articulatia C, asezate pe doua reazeme si o articulatie.

Se dau: F₁ = 16 ap; sarcina uniform distribuita 3p.

Se cer: reactiunile din articulatia A si reazemele simple B si D; fortele de legatura interioare din articulatia C.

Sistemul echivalent  va fi :

Aplicand metoda izolarii corpurilor se obtin doua bare al caror echilibru se va studia.

Pentru corpul 1

Pentru corpul 2

Rezolvand cele 6 ecuatii, obtinem valorile reactiunilor:

Bare Articulate. (Grinzi cu Zabrele)

Exemple de grinzi cu zabrele: constructia podurilor metalice, a macaralelor, stalpi metalici de sustinere a cablurilor electrice.

Grinzile cu zabrele sunt sisteme mecanice formate din bare rectilinii si rigide legate intre ele prin articulatii sferice;

Ipotezele simplificatoare

Ø      Barele sunt rectilinii, avand sectiunea neglijabila in raport cu lungimea lor;

Ø      Prinderea barelor se face prin articulatii fara frecare (ideale);

Ø      Sistemul de bare este nedeformabil;

Ø      Fortele exterioare (date si de legatura) actioneaza numai in articulatii (numite noduri);

Ø      Greutatea barelor se neglijeaza in raport cu fortele exterioare.

Fortele care actioneaza in bare sunt de tip axial. Pentru bare aflate in acelasi plan avem un sistem plan de bare articulate; pentru bare aflate in spatiu avem un sistem spatial de bare articulate.

Barele grinzii pot fi supuse la eforturi de intindere (pozitive) cand acestea tind sa lungeasca bara, sau eforturi de compresiune (negative ) cand acestea tind sa scurteze bara

(fig.1.35).

Conditia necesara ca o grinda plana sa fie static determinata si nedeformabila este:

(1.128)

unde: b - nr. barelor

n - nr. nodurilor

In cazul sistemelor de bare articulate in plan, exista mai multe moduri de rezolvare a acestora:

Legaturile sistemelor de bare pot fi un reazem simplu si o articulatie (trei necunoscute); pentru calculul necunoscutelor se aplica teorema solidificarii (consideram grinda ca un singur corp rigid actionat de fortele exterioare date si de legatura).

In cazul aparitiei tensiunilor in bare, acestea sunt forte interioare sistemului si se determina prin metode ca: metoda izolarii nodurilor; metoda Ritter a sectiunilor.

Metoda izolarii nodurilor

Aceasta metoda se bazeaza pe metoda izolarii corpurilor sau echilibrul partilor;

Se izoleaza nodurile si se aplica forte concentrate:forte din bare, forte exterioare date si de legatura.

Se scriu doua ecuatii de echilibru: ecuatiile proiectiilor pe axele Ox si Oy ale fortelor.

Se rezolva intai nodurile unde numarul ecuatiilor este egal cu numarul necunoscutelor. Rezolvarea este din aproape in aproape.

Daca nu exista nici un nod cu doua necunoscute atunci se aplica teorema solidificarii determinandu-se reactiunile, apoi se izoleaza nodurile si se scriu ecuatiile de echilibru ale fortelor concentrate.

La aceasta metoda, toate tensiunile din bare sunt pozitive (ies din nod). Daca in urma calculului ele sunt negative, sunt intr-adevar tensiuni de compresiune.

Aplicatie

Se considera grinda cu zabrele din figura.

Se cer:

Fortele de legatura din A si B folosind teorema solidificarii;

Eforturile din bare folosind metoda izolarii nodurilor.

1.

2. b = 2n -3

- Adv. (pr. static determinata)

Nodul 1

Nodul 2

Nodul 3

Nodul 4,5- relatii de verificare